Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(P = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1 \lt x^2 + y^2 \lt 4\}, k_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}\) и \({k_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 4\}.}\) Решити проблем (одредити решење које припада \({C(\overline{P}; \mathbb{R}) \cap C^2(P; \mathbb{R})}\) и доказати да је јединствено):\[\begin{aligned} &\Delta u= -x, &(x,y) \in P,\\&u(x,y) = -\frac{x^3}{6} + 2x^2 -1, &(x,y) \in k_1,\\&u(x,y) = -\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{8}-\frac{1}{4} + \ln 2, \qquad &(x,y) \in k_2.\end{aligned}\]

Доказати или оповргнути наредна тврђења:

1. Нека је \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) отворен скуп и нека је \(u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) хармонијска функција. Ако је \(u(x_0, y_0) = 0\) онда за сваку отворену околину \(G\) тачке \((x_0, y_0)\) постоји \((x,y) \in G\) такво да је \((x,y) \neq (x_0, y_0)\) и \(u(x,y) = 0.\)
2. Нека је \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) отворен скуп и нека је \(f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}\) хармонијска функција. Ако је \(f(x_0, y_0) = 0\) онда за сваку отворену околину \(G\) тачке \((x_0, y_0)\) постоји \((x,y) \in G\) такво да је \((x,y) \neq (x_0, y_0)\) и \(f(x,y) = 0.\)

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt x \lt \pi, t > 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено):\[\begin{aligned}&u_{tt} = u_{xx} + t \cos{2x}, &\text{за } (x,t) \in \overline{D},\\&u(x,0) = 1+\cos{x}, \quad u_t(x,0) = \cos{3x}, \quad &\text{за } 0 \leq x \leq \pi,\\&u_x(0,t) = 0, \quad u_x(\pi, t) = 0, &\text{за } t \geq 0.\end{aligned}\]

Нека је \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \gt 0, y \gt 0\}.\) Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине \[x^2 u_{xx} - y^2u_{yy} = 0,\]при чему \((x,y) \in D.\) Решити затим и одговарајући Кошијев проблем, ако је \(u(x,1) = x^2 + 1\) и \(u_y(x, 1) = 4x^2.\)