Писмени испит из предмета Анализа 3А За смерове Н, В.

Дато је пресликавање \(f_n: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}\), дефинисано са \(f_n(x) = x \mod{n},\) где је \(n \geq 2\) фиксинари природан број.

1. Одредити минималну \(\sigma-\)алгебру \(\mathfrak{M}\) над \(\mathbb{Z}\) такву да је \(f_n\) \(\mathfrak{M}\)-мерљво пресликавање.
2. Испитати за које \(m \in \mathbb{N}\) је пресликавање \(f_m: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R},\) дефинисано са \(f_m(x) = x \mod{n},\) једно \(\mathfrak{M}\)-мерљво пресликавање.
3. Нека је \(\nu\) мера на \((\mathbb{Z}, \mathcal{P}(\mathbb{Z})),\) таква да је \(\frac{d \nu}{d \mu} = f_n,\) где је \(\mu\) бројачка мера. Доказати да \((\mathbb{Z}, \mathfrak{M}, \nu_{\mathfrak{M}})\) није комплетан простор са мером и одредити његово комплетирање.
4. Нека је пресликавање \(g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}\) дефинисано са \(g(x) = \frac{1}{2^{|x|}}.\) Доказати да је \(g \in L^p(\mathbb{Z}, \mathcal{P}(\mathbb{Z}), \nu),\) за свако \(1 \leq p \leq +\infty\) и израчунати \(\Vert g\rVert_\infty.\)
5. Израчунати \(\int_{\mathbb{N}_0} g\, d\mu.\)

Израчунати: \[\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \int_0^{n^2}x \left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{-n}dx.\]

Израчунати: \[\int_0^1 \frac{\ln x \arctg{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.\]

Нека је \((X, \mathfrak{M}, \mu)\) простор са вероватносном мером и \(f \in L^1(X, \mathfrak{M}, \mu)\) строго позитивна функција за коју је \(\lVert f\rVert_2 = 1.\) Доказати да је \(\int_X \frac{1}{f}\,d\mu \geq 1.\)

Нека је \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) дефинисана са: \[f(x) = \begin{cases} \arctg\left(\frac{x+1}{x-1}\right), &x \neq 1\\ 2021, &x = 1,\end{cases}\]Одредити варијациону функцију \(v_f(x) - V^x_{-\infty},\) за \(x \in \mathbb{R},\) доказати да је \(f \in BV(\mathbb{R})\) и представити \(f\) као разлику две монотоно растуће функције.