Писмени испит из предмета Анализа 3А За смерове Н, В.

Дато је пресликавање $f_n: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$, дефинисано са $f_n(x) = x \mod{n},$ где је $n \geq 2$ фиксинари природан број.

1. Одредити минималну $\sigma-$алгебру $\mathfrak{M}$ над $\mathbb{Z}$ такву да је $f_n$ $\mathfrak{M}$-мерљво пресликавање.
2. Испитати за које $m \in \mathbb{N}$ је пресликавање $f_m: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R},$ дефинисано са $f_m(x) = x \mod{n},$ једно $\mathfrak{M}$-мерљво пресликавање.
3. Нека је $\nu$ мера на $(\mathbb{Z}, \mathcal{P}(\mathbb{Z})),$ таква да је $\frac{d \nu}{d \mu} = f_n,$ где је $\mu$ бројачка мера. Доказати да $(\mathbb{Z}, \mathfrak{M}, \nu_{\mathfrak{M}})$ није комплетан простор са мером и одредити његово комплетирање.
4. Нека је пресликавање $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ дефинисано са $g(x) = \frac{1}{2^{|x|}}.$ Доказати да је $g \in L^p(\mathbb{Z}, \mathcal{P}(\mathbb{Z}), \nu),$ за свако $1 \leq p \leq +\infty$ и израчунати $\Vert g\rVert_\infty.$
5. Израчунати $\int_{\mathbb{N}_0} g\, d\mu.$

Израчунати: $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \int_0^{n^2}x \left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{-n}dx.$$

Израчунати: $$\int_0^1 \frac{\ln x \arctg{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.$$

Нека је $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ простор са вероватносном мером и $f \in L^1(X, \mathfrak{M}, \mu)$ строго позитивна функција за коју је $\lVert f\rVert_2 = 1.$ Доказати да је $\int_X \frac{1}{f}\,d\mu \geq 1.$

Нека је $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ дефинисана са: $$f(x) = \begin{cases} \arctg\left(\frac{x+1}{x-1}\right), &x \neq 1\\ 2021, &x = 1,\end{cases}$$Одредити варијациону функцију $v_f(x) - V^x_{-\infty},$ за $x \in \mathbb{R},$ доказати да је $f \in BV(\mathbb{R})$ и представити $f$ као разлику две монотоно растуће функције.