Писмени испит из предмета Увод у теоријску механику За смерове Л, Н, Р, В.

Два брода \(A\) и \(B\), удаљавају се од бове на средини реке на међсобно нормалним праволинијским пунаyама: брод \(A\) се креће у правцу тока реке, а брод \(B\) попреко. На једнакој удаљености од бове бродови се окрећу и враћају назад. Наћи однос времена кретања \(t_A/t_B\) ако је брзина сваког брода у односу на ток \(\eta\) пута већа од брзине реке. (\(\eta > 1\))

Честица се креће у \(xy\) равни према закону: \(x=bt, y=bt(1-\alpha t),\) где су \(b\) и \(\alpha\) позитивне константе. Наћи:

1. једначину трајекторије \(y(x)\) и нацртати је
2. брзину и убрзање у функцији времена
3. тренутак \(t_0\) у којем угао између вектора брзине и убрзања износи \(\frac{\pi}{4}.\)

Око цилиндра који је на својим крајевима причвршћен за плафон тако да може да ротира око своје осе, пребачене су две лаке неистегљве нити чији крајеви су обмотани око другог идентичног цилиндра, који се онда под дејством гравитације спушта. Маса котурова је \(M\) а радијус \(R.\) Занемарујући трење између нити и цилиндара одредити силу затезања сваке нити.

Преко котура, који је причвршћен за плафон тако да може да ротира око своје осе, пребачена је лака неистегљва нит, која не проклизава преко котура. На крајевима нити су окачена два тега маса \(m_1 > m_2.\) Написати Ојлер-Лагранжову једначину за овај систем.