Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер М.

Нека је \(Y\) комплексан Банахов простор и \(\mathbf{bv}(Y) = \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in Y, \sum_{n=1}^\infty \left\lVert x_{n+1}-x_n\right\rVert_Y \lt +\infty\}\) простор свих низова у \(Y\) који су ограничене варијације.

1. Доказати да је \(\mathbf{bv}(Y)\) векторски потпростор од \(l^\infty(Y)\) и да је пресликавање \(||\cdot||:\mathbf{bv}(Y)\rightarrow[0,+\infty),\) дефинисано са \(\left\lVert x\right\rVert := \left\lVert x_1\right\rVert_Y+\sum_{n=1}^{+\infty}\left\lVert x_{n+1}-x_n\right\rVert_Y,\) једна норма на \(\mathbf{bv}(Y)\) за коју важи да је \(\left\lVert x\right\rVert_{l^\infty} \leq \left\lVert x\right\rVert,\) за свако \(x \in \mathbf{bv}(Y).\)
2. Доказати да је \(\mathbf{bv}(Y)\) Банахов простор.

Израчунати \[\min_{a \in \mathbb{C}}\int\limits_0^1 \frac{|\ln x + a|^2}{1+x}dx.\]

Нека је \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) произвољан конвергентан низ. Израчунати \[\lim_{t\rightarrow 1^-}(1-t)^3 \sum_{n=0}^{+\infty}n(n-1)x_nt^n.\]

Нека је \(T:L^2(0,1) \rightarrow L^2(0,1)\) дефинисан са \((Tx)(t)=\int_0^t s^\alpha x(s)\,\mathrm ds,\) \(\alpha\gt -\frac{1}{2}.\)

1. Доказати да је \(T\) добро дефинисан ограничен линеаран оператор на \(L^2(0,1);\)
2. Одредити \(T^*\) и испитати нормалност оператора \(T;\)
3. Доказати да је \(T\) компактан оператор;
4. Одредити \(\sigma(T).\)