Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер М.

Нека је $Y$ комплексан Банахов простор и $\mathbf{bv}(Y) = \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in Y, \sum_{n=1}^\infty \left\lVert x_{n+1}-x_n\right\rVert_Y \lt +\infty\}$ простор свих низова у $Y$ који су ограничене варијације.

1. Доказати да је $\mathbf{bv}(Y)$ векторски потпростор од $l^\infty(Y)$ и да је пресликавање $||\cdot||:\mathbf{bv}(Y)\rightarrow[0,+\infty),$ дефинисано са $\left\lVert x\right\rVert := \left\lVert x_1\right\rVert_Y+\sum_{n=1}^{+\infty}\left\lVert x_{n+1}-x_n\right\rVert_Y,$ једна норма на $\mathbf{bv}(Y)$ за коју важи да је $\left\lVert x\right\rVert_{l^\infty} \leq \left\lVert x\right\rVert,$ за свако $x \in \mathbf{bv}(Y).$
2. Доказати да је $\mathbf{bv}(Y)$ Банахов простор.

Израчунати $$\min_{a \in \mathbb{C}}\int\limits_0^1 \frac{|\ln x + a|^2}{1+x}dx.$$

Нека је $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ произвољан конвергентан низ. Израчунати $$\lim_{t\rightarrow 1^-}(1-t)^3 \sum_{n=0}^{+\infty}n(n-1)x_nt^n.$$

Нека је $T:L^2(0,1) \rightarrow L^2(0,1)$ дефинисан са $(Tx)(t)=\int_0^t s^\alpha x(s)\,\mathrm ds,$ $\alpha\gt -\frac{1}{2}.$

1. Доказати да је $T$ добро дефинисан ограничен линеаран оператор на $L^2(0,1);$
2. Одредити $T^*$ и испитати нормалност оператора $T;$
3. Доказати да је $T$ компактан оператор;
4. Одредити $\sigma(T).$