Писмени испит из предмета Анализа 3А За смерове М, Н.

Нека је \(\mu\) мера на Бореловој \(\sigma\)-алгебри \(\mathfrak B_{\mathbb R}\) таква да је \(\mu\left(I+x\right)=\mu\left(x\right)\) за сваки отворени интервал \(I\subset\mathbb R\) и \(x\in\mathbb R,\) као и \(\mu([0,1])=1.\) Показати да је \(\mu(\{x\})=0\) за \(x\in\mathbb R.\)

Нека је \(\alpha\gt 1.\) Одредити \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^{\infty}\frac{n(x^{\alpha+1}-x^{\alpha})\sin\left(\frac{1}{x}-1\right)}{x^3\left(x^\alpha+n^\alpha(x-1)^\alpha\right)}\, dx.\]

Нека су \(V_n,\) \(n=1,2,\dots\) отворени подскупови од \([0,1]\) такви да је \(V_1\supset V_2 \supset\cdots\) и \(m(V_n)\le 2^{-n},\) где је \(m\) Лебегова мера на \(\mathbb R.\) Ако је \(f(x)=\sum_{n=1}^\infty m\left(V_n\cap[0,x]\right)\) за \(x\in[0,1],\) показати да је

1. \(f\in\mathrm{AC}[0,1];\)
2. \(f\) је Липшицова функција на \([0,1]\) ако и само ако постоји \(N\in\mathbb N\) такво да је \(V_n=\emptyset\) за све \(n\ge N.\)

Нека је \((X,\mu)\) простор са мером, \(p\in[1,\infty]\) фиксирано, \(f_n\in L^p\left(X\right)\) за \(n=1,2,\dots\) и \(\left\{g_n\right\}_{n=1}^{\infty}\) ограничен низ из \(L^{\infty}(X).\) Ако \(f_n\rightarrow f\) у простору \(L^p\left(X\right)\) и \(g_n\rightarrow g\) \(\mu\)-скоро свуда кад \(n\rightarrow\infty\) показати да \(f_ng_n\rightarrow fg\) у \(L^p\left(X\right)\) кад \(n\rightarrow\infty.\)