Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.

Посматрајмо скуп \(H\) свих матрица облика \[B = \begin{bmatrix}1 & x & y \\0 & 1 & z \\0 & 0 & 1\end{bmatrix},\] где су \(x,y,z \in \mathbb{Z}_3.\)

1. [5] Доказати да је \(H\) група у односу на операцију множења матрица.
2. [5] Доказати да је сваки елемент у \(H\), различит од неутрала, реда \(3\), али да група \(H\) није изоморфна са \(\mathbb Z_3\times \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3.\)

Посматрајмо цикличну подгрупу \(H = \langle (\rho^3, R^2)\rangle\) групе \(\mathbb{D}_{12}\times \mathbb{D}_{14}\), где је \(\rho\) ознака за ротацију у групи \(\mathbb{D}_{12}\), а \(R\) ознака за ротацију у групи \(\mathbb{D}_{14}.\)

1. [4] Одредити број елемената и број аутоморфизама за \(H.\)
2. [6] Испитати да ли је \(H\) нормална подгрупа од \(\mathbb{D}_{12}\times\mathbb{D}_{14}.\)

Доказати да, до на изоморфизам, постоје тачно две Абелове групе реда \(1960\) у којима је максимални ред елемената већи од \(100\) и нема елемената реда \(49.\) Одредити број елемената реда \(20\) у свакој од тих група.

Одредити остатак броја \(16^{{13}^{2021}}\) при дељењу са 11.

Посматрајмо пермутације \(\pi = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\5& 7& 3& 8& 2& 4& 1& 6\end{pmatrix}\) и \(\sigma = \lceil 4, 5, 8, 3, 2\rfloor \lceil 6, 7, 5, 2, 3\rfloor \lceil 5, 7, 8\rfloor \) из \(\mathbb{S}_8.\) Представити \(\pi\) и \(\sigma\) у облику производа дисјунктних циклова, одредити њхове редове и парност и израчунати \(\sigma^{2021}\) и \(\pi^{-4}.\)

Нека је \(G\) циклична група реда \(30.\) Испитати да ли је пресликавање \(\varphi: G \times GL_2(\mathbb{R}) \rightarrow G \times \mathbb{R}^*\) дефинисано са \[\varphi(x,A) = (x^3, \det(A)^3),\qquad x \in G, A \in GL_2(\mathbb{R})\]хомоморфизам група и ако јесте, одредити његово језгро.

Доказати да у количничкој групи \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) постоји елемент реда \(n\) за сваки природан број \(n.\)

1. [5] Показати да је \(\text{Aut}(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{S}_3\)
2. [5] Нека је \(p\gt 2\) прост број. Одредити број елемената групе \(\text{Aut}(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p).\)

Нека је \(G\) коначна група кардиналности \(n\) и \(S\) подскуп од \(G\) такав да је \(|S|\gt n/2.\) Доказати да је \(G = SS.\)