Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смер М.

Скицирати поље праваца диференцијалне једначине \(y'=\sin^2y.\) Не решавајући диференцијалну једначину скицирати интегралне криве решења једначине које пролазе редом кроз тачке \((1,0),\) \((1,1),\) \((0,-1)\) и \((4,0).\)

Да ли диференцијалне једначине \(y'^2=4y\) и \(y'=2\sqrt y\) имају исти скуп решења? Одговор образложити. За које вредности уређених парова \((a,b)\in\mathbb R^2\) Кошијев проблем \(y'=2\sqrt y,\) \(y(a)=b:\)

1. нема решење;
2. има тачно једно решење;
3. има бесконачно много решења?

Нека је \(F\colon\mathbb R^3\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb R^3\) \(C^1\) централно векторско поље, то јест постоји \(C^1\) функција \(f\colon(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R\) таква да је \(F(x)=f(\lVert x\rVert)x.\)

1. Доказати да решење једначине \(x''=F(x),\) \(x(0)=x_0,\) \(x'(0)=v_0\) припада једној равни.
2. Наћи функцију \(V\colon\mathbb R^3\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb R\) такву да је \(F=-\nabla V.\)
3. Доказати да функција \(V\) опада дуж решења једначине \(x'=F(x).\)

Решити диференцијалну једначину \(x^2(y'^2-2yy'')=y^2.\)