Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смер М.

За \(\alpha\gt0\) дата је диференцијална једначина \[\frac{yy'}{\sqrt{y^2+\alpha}}=\frac{8x^2+y^2+1}{2x^2+y^2+1}.\]

1. Трансформисати дату једначину сменом \(v(x)=\sqrt{y(x)^2+\alpha}.\)
2. Решити дату једначину за једно \(\alpha\gt0\) по избору.

Наћи све диференцијабилне функције \(f\colon\left(-a,a\right)\rightarrow\mathbb R\) које задовољавају услове \[f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)},\quad \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}=1.\]

Помоћ: Диференцирати одговарајућу једнакост по \(x\) и по \(y\) и упоредити их.

Дато је векторско поље \(X=x\frac{\partial}{\partial x} - y\frac{\partial}{\partial y}\) и пресликавање \(\psi_t\colon(x,y)\mapsto(\cos tx +\sin tx, -\sin tx +\cos ty).\) Наћи ток \(\phi_t\) који је оређен векторским пољем \(X\) и векторско поље \(Y\) које одређује ток \(\psi_t.\) Наћи \((\phi_t)_*X\) и \((\phi_t)_*Y\) Да ли токови \(X\) и \(Y\) комутирају?