Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смер М.

Наћи опште решење диференцијалне једначине \[2\sqrt{xy}=\frac{y-xy'}{y}\] на области \(\{x\gt0,y\gt0\}.\) Наћи и партикуларнио решење које тангира параболу \(y=x^2.\)

1. Дата је диференцијална једначина \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) и нека је \(y_1(x)\) једно њено партикуларно решење. Доказати да је \[y_2(x)=y_1(x)\cdot\int\frac{e^{-\int p(x)\,\mathrm dx}}{y_1(x)^2}\,\mathrm dx\] такође решење једначине, независно са \(y_1( x).\)
2. Дата је диференцијална једначина \(xy''-y'+4x^3y=0,\) \(x\gt0.\) Решити дату једначину, ако је познато да се једно решење може наћи у облику \(\cos(x^\alpha).\)

Дата су векторска поља \(X=x\frac{\partial}{\partial x}+(x+y)\frac{\partial}{\partial y}\) и \(Y=y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}\) у \(\mathbb R^2.\) Да ли постоје дифеоморфизам \(\varphi\) и околина \(U\) тачке \((x_0,y_0)\) такви да је \(\varphi_*X=\frac{\partial}{\partial x}\) на \(U\)? Да ли постоје дифоморфизам \(\psi\) и околина тачке \((x_0,y_0)\) такви да је \(\psi_*X=\frac{\partial}{\partial x}\) и \(\psi_*Y = \frac{\partial}{\partial y}\) на \(U\)?