Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смер М.

Наћи Кошијева решења диференцијалне једначине \(y''+x^5y'=x^5(y')^7\) са условима

1. \(y(2)=3,y'(2)=1;\)
2. \(y(1)=1,y'(1)=0.\)

Решити диференцијалну једначину \[\left(y\tan x + \frac{e^{xy}}{\cos^2 x}\right)\,\mathrm{d}x+x\tan x\, \mathrm d y =0.\]

Испитати егзистенцију и јединственост решења Кошијевог проблема \(y'=\frac{x^{2/3}}{1+\sqrt{\lvert y\rvert}},\) \(y(0)=0.\)

Дата су векторска поља \(X=\frac{\partial}{\partial z}\) и \(Y=z\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial x}\) у \(\mathbb R^3\)

1. Израчунати комутаторе \([X, Y]\) и \([Y,[Y,X]].\)
2. Наћи токове за векторска поља \(X\) и \(Y.\) Да ли ти токови комутирају?
3. Да ли је дистрибуција разапета векторским пољима \(X\) и \(Y\) интеграбилна?