Колоквијум из предмета Елементи актуарске математике За смер В.

Нека случајна величина \(X\) има нормалну \(\mathcal{N}(0,1)\) расподелу. Одредити неку трансформацију те случајне величине која има тежак реп.

Дата је случајна величина \(X\) из Паретове расподеле са функцијом расподеле \[F(x) = 1-\frac{\gamma^b}{x^b}, x \geq \gamma, \gamma \gt 0, b \gt 0.\]

1. (а) Показати да је случајна величина \(X\) правилно променљва. Да ли ова случајна величина има тежак реп?
2. (б) Нека је \(Y\) позитивна случајна величина и \(\alpha\) индекс променљвости случајне величине \(X.\) Ако постоји коначан \(\alpha\) моменат случајне величине \(Y\) показати да је \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{P\{XY \gt x\}}{P\{X \gt x\}} = E[Y^\alpha].\]
3. (ц) Нека су \(X_1\) и \(X_2\) независне случајне величине из исте расподеле као и \(X.\) Одредити асимптотску расподелу \(P\{X_1 + X_2 \gt x\},\) када \(x \rightarrow \infty.\)
4. (д) Ако је \(\alpha \gt 1,\) показати да је функција средњег прекорачења \[e(u) = \frac{u}{\alpha -1}\] Како је помоћу функције средњег прекорачења могла да се одреди тежина репа?

Испитати да ли је дата функција расподеле \[F(x) = \begin{cases}0, &x \lt \mu\\e^{-\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-2}}, \quad &x \geq \mu \end{cases}\] максимум стабилна за \(\mu \in \mathbb{R}\) и \(\sigma \gt 0.\)

У посматраном Крамер-Лундберговом моделу, са интензитетом Пуасоновог процеса \(\lambda \gt 0,\) расподела појединачних захтева за одштетом из \(\gamma(2,1)\) расподеле. Нека је приход од премија \(2.2 \lambda\) у јединици времена.

1. (а) Испитати да ли су испуњени сви услови Лундбергове неједнакости.
2. (б) Проценити вероватноћу разарања ако је почетни капитал био \(u = 100.\)

Тест 1
Дефинисати сабилне расподеле. Навести пример који показује да је класа стабилних расподела прави подскуп од класа бесконачно дељивих расподела.

Тест 2
Извести Лапласову трансформацију за функцију преживљавања дату са \[\varphi(u) = \varphi(0)+\frac{1}{1+\rho}\int_0^u{e^{-y}\varphi(u-y)dy},\] где је \(\rho\) заштитни додатак.