Колоквијум из предмета Елементи актуарске математике За смер В.

Нека је \(\{N(t), t \geq 0\}\) нехомогени Пуасонов процес са функцијом интензитета \[\lambda(t) = \frac{1}{1+t}, t \geq 0.\] Одредити расподелу за количину времена које прође између првог и другог догађаја.

Осигуравајућа кућа прима захтеве за одштетом у складу са хомогеним Пуасоновим процесом. Нека је \(t \gt 0\) фиксирано. Зна се да компанија исплаћује одштету свима у истом тренутку \(t.\)

1. (а) Ако се зна да је \(n\)-ти захтев био последњи захтев за одштету, одредити заједничку расподелу времена чекања од подношења захтева до тренутка исплатe.
2. (б) Одредити очекивано време укупног чекања од тренутка свих подношења захтева до тренутка исплате.

Клијенти у банку долазе у просеку на сваких сат времена \(15\) клијената (у складу са хомогеним Пуасоновим процесом). Вероватноћа да је клијент мушко једнака је вероватноћи да је клијент женско.

1. (а) Одредити вероватноћу да је између \(12h\) и \(14h\) било најмање \(20\) клијената, ако се зна да је у том периоду било тачно \(9\) жена.
2. (б) Ако је до \(10h\) било бар \(3\) жене, одредити вероватноћу да је до \(12h\) било \(10\) клијената.

Нека су \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) збирни Пуасонови процеси којима одговарају Пуасонови процеси \(N_1, N_2, \ldots, N_n,\) са интензитетима \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n,\) тако да је \[S_i(t) = X_1^{(i)} + X_2^{(i)} + \ldots + X_{N_i(t)}^{(i)}, i=1,2, \ldots, n,\] где су \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}^{(i)}\) низови независних једнако расподељених случајних величина са функцијом расподеле \(F_i, i= 1, 2, \ldots, n.\) Доказати да је \[S = S_1 + S_2 + \ldots + S_n\] такође збирни Пуасонов процес, такав да је \(S(t) = \sum_{i=1}^{N(t)}Y_i,\) где је \(\{N(t), t \geq 0\}\) хомоген Пуасонов процес са интензитетом \(\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots \lambda_n,\) а \(\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) низ независних једнако расподељених случајних виличина са функцијом расподеле \(F.\) Дискутовати везу између функције расподеле \(F\) и \(F_1, F_2, \ldots, F_n.\),

Тест 1
Користећи еквивалентан запис код одређеног бројачког процеса показати да је \[\int_{10}^\infty{3e^{-3t}\frac{(3t)^5}{5!}}\,dt=\sum_{n=0}^5{\frac{30^n}{n!}e^{-30}}.\]

Тест 1
Израчунати вероватноћу \[P\{N[1,3] = 2, N[2,4]=3\},\] где је \(N\) нехомоген Пуасонов процес са функцијом средње вредности \(\mu(t)=2t^2.\)