МАТФ РОКОВИ
13.02.2016.

Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

У зависности од позитивног параметра \(x\) одредити граничну вредност низа чији је општи члан задат са: \[ a_n = \left(\frac{\log{n^x}}{n+1} + x^n+n2^n\right)^{\frac{1}{n}}.\]

2

Дато је пресликавање: \[ f(x) = \frac{x^2-2x+2}{x^2-3}\arctg{|x-2|}.\]

  1. Испитати диференцијабилност пресликавања \(f.\)
  2. Испитати равномерну непрекидност пресликавања \(f\) на скуповима \((0,1)\) и \((e, +\infty).\)

3

  1. Наћи Маклоренов полином трећег степена за функцију \(f(x) = \arcsin x.\)
  2. Израчунати граничну вредност \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n\left(e^{\arcsin{\frac{1}{n}}}-e^{\arctg{\frac{n}{n^2+1}}}\right)}{n \cos{\frac{1}{n}}\sin{\frac{2}{n}}-2}.\]

4

Нека је функција \(f\) непрекидна на \([0,2],\) диференцијабилна на \((0,2)\) и нека важи \[ f(0) = f(2) = M > 0 \text{ и } |f'(x)| \leq M \text{ за свако } x \in (0,2).\] Доказати да је функција \(f\) ненегативна на \([0,2].\)