Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \gt 1, y \gt 0 \}\). Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\Omega, \mathbb{R}) \cap C(\overline{\Omega}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&1^\circ &\Delta u = 0, \text{za } (x,y) \in \Omega;\\&2^\circ &u(x,y) = y, \text{za } (x,y) \in \partial \Omega;\\&3^\circ &u \text{ jе ограничена на } \overline{\Omega}.\end{aligned}\]

Нека је \( u : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) неконстантна хармонијска функција. Доказати да је за свако \(c \in \mathbb{R}\) скуп \(u^{-1}(\{c\})\) неограничен.

Neka je \( D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt x \lt 1, t \gt 0\}\). Rešiti problem (odrediti rešenje koje pripada \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) i dokazati da je jedinstveno):\[\begin{aligned}&u_t = u_{xx} + 4u_x - 4(t - t^2)+x+2(1-x)t, &\text{за }(x,t) \in \overline{D},\\&u(x,0) = e^{-2x}\sin^2{\pi x}, &\text{за } 0 \leq x \leq 1,\\&u(0, t) = t^2, u(1,t) = t, &\text{за } t \geq 0.\end{aligned}\]

Odrediti tip, svesti na kanonski oblik i odrediti opšte rešenje parcijalne jednačine \[ xu_{xx} - yu_{yy}+ \frac{1}{2}(u_x-u_y) = 0,\] pri čemu \((x,y) \in D\), gde je \(D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x \gt 0, y \gt 0\}\).