Колоквијум из предмета Диференцијална геометрија За смер М.
1
Испитати за које вредности \(r \in \mathbb{R}\) је површ \(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 - z^2 = r\} \subset \mathbb{R}^3\) са релативном топологијом глатка многострукост.
2
Доказати да је скуп свих афиних правих из \(\mathbb{R}^2\) глатка многострукост (постоји гладак атлас).
3
Нека су \(M, N\) и \(P\) многострукости. Доказати да је пресликавање \((f,g)\colon P \rightarrow M \times N \) глатко ако и само ако су \(f: P \rightarrow M\) и \(g: P \rightarrow N\) глатка.
4
Доказати да је пресликавање \(f:\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{S}^1 = \{ z \in \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2 : |z| = 1\}\) дато са \(f(z)=z^2\) глатко.
5
Доказати да је пресликавање \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) дато са \(f(x,y) = (x e^y + y, xe^y -y)\) дифеоморфизам.
6
Доказати да за свако \(p \in \mathbb{B}^n = B_1(0) \subset \mathbb{R}^n\) постоји дифеоморфизам \(f: \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^n\) такав да је \(f(0) = p\).