Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(D =\{z=x+iy\in\mathbb{C} : 1 \lt |z| \lt 2, 0 \lt \arg{z} \lt \frac{\pi}{2}\}.\) Одредити функцију \(u \in C(\overline{D}, \mathbb{R}) \cap C^2(D, \mathbb{R})\) такву да важи \[\begin{aligned}& \Delta u(x,y) = x, &(x,y) \in D,\\&u(e^{it} = \sin{2t} + \frac{1}{8}\cos{t}, \quad u(2e^{it})=\sin{4t}+\cos{t}, &0 \leq t \leq \frac{\pi}{2},\\&u(r) = \frac{r^3}{8}, u(ir) = 0, &1 \leq r \leq 2 .\end{aligned}\] Да ли је функције \(u\) јединствена?

Нека је \(\Omega\) област у \(\mathbb{R}^2\) и нека су \(u\) и \(v\) реално-вредносне хармонијске функције. Доказати:

1. да је функција \( x \mapsto (x, \text{grad }{u}) \) хармонијска у \( \Omega ;\)
2. функција \( uv \) је харомнијска у \( \Omega \) ако и само ако је \((\text{grad }u, \text{grad }v) = 0\) у \( \Omega.\)

Нека је \( D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt x \lt 1, t \gt 0 \}.\) Решити проблем (одредити решење класе \(C^{2,1}(D, \mathbb{R}) \cap C(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + t \sin{\pi x}, &(x,t) \in {D},\\&u(x,0) = x(1-x), &0 \leq x \leq 1,\\&u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, &t \geq 0.\end{aligned}\]

Одредити тип једначине \[e^{2x}u_{xx} + 2e^{x+y}u_{xy}+e^{2y}u_{yy} + (e^{2y} - e^{x+y})u_y = 0,\] и свести је на канонски облик. Одредити и опште решење.