Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(\mathbb{D} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \lt 1 \} \) и \( g \in C^1( \partial \mathbb{D}, \mathbb{R})\). Доказати да ако је функција \(u \in C^2 (\overline{\mathbb{D}}, \mathbb{R} \) решење проблема \[\begin{aligned}& \Delta u(x,y)=0, &(x,y) \in \mathbb{D},\\& \frac{\partial u}{\partial n} = g(x,y) &(x,y) \in \mathbb{D},\end{aligned}\] онда је \( \int_{\partial \mathbb{D}} {g(x,y)dl} = 0\).

Напомена: Са \( \frac{\partial u}{\partial n} \) обележен је извод у правцу спољашње нормале на \( \partial \mathbb{D} \).

Нека су \( r, R \in \mathbb{R}\) такви да је \( 0 \lt r \lt R,\) \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : r^2 \lt x^2 + y^2 \lt R^2\},\) \(C_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = r^2 \}\) и \(C_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = R^2\}.\) У области \(D\) решити проблем \[\begin{aligned}&\Delta u = -4,\\&u(x,y) = r^2 + 2016, &(x,y) \in C_1,\\&u(x,y) = R^2 + 2016, &(x,y) \in C_2.\end{aligned}\] Да ли је решење проблема јединствено?

Нека је \( D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt x \lt \pi, t \gt 0 \}.\) Решити проблем (одредити решење класе \( C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) + \sin{2x}\cos{2t}, &(x,t) \in D,\\&u(x,0) = \sin{x}, u_t(x,0)=0, &0 \leq x \leq \pi.\\&u(0,t) = 0, u(\pi,t) = 0, & t \geq 0.\end{aligned}\] Одредити и \( \lim_{t \rightarrow +\infty}{u(\frac{\pi}{4}, t)}.\)

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине \[xu_{xx} + yu_{yy} = 0,\] при чему \((x,y) \in D,\) где је \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x \gt 0, y \gt 0\} .\) Решити и одговарајући Кошијев проблем ако је \( u(1,y) = 2y + 1\) и \( u_x(1,y) = y.\)