Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt x \lt 1, y\gt 0\}\) и нека је \(u \in C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) таква да важи

1. \(\Delta u (x,y) = 0\) за свако \((x,y) \in D;\)
2. \(u(x,0) = 0\) за свако \(x \in [0,1];\)
3. \(u_x(0,y) = u_x(1,y) = 0\) за свако \(y \in [0, + \infty);\)
4. \(u(x,y) \rightrightarrows 0 \quad (y \rightarrow +\infty)\) на \([0,1]\) (Фамилија функција \(u(\cdot, y)\) равномерно конвергира функцији \(0\) на \([0,1]\) кад \(y \rightarrow +\infty\))
5. \(\int_0^1\left( \int_0^{+\infty}\lvert u_{xx}(x,y)\rvert dy\right)dx \lt +\infty.\)

Доказати да је тада \(\iint_Du^2_x(x,y) - u^2_y(x,y)\,dxdy = 0\)

Нека је \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \lt x \lt 1, y \gt 0\}\). Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено):

1. \(\Delta u(x,y) = 0\) за свако \((x,y) \in D,\)
2. \(u(x,0) = \cos{\pi x}\) за свако \(x \in [0,1],\)
3. \(u_x(0,y) = u_x(1,y) = 0\) за свако \(y \in [0, +\infty),\)
4. \(u(x,y) \rightrightarrows 0 \quad (y \rightarrow +\infty)\) на \([0, 1]\) (Фамилија функција \(u(\cdot, y)\) равномерно конвергира функцији \(0\) на \([0,1]\) кад \(y \rightarrow +\infty,\)
5. \(\int_0^1\left( \int_0^{+\infty}|u_{xx}(x,y)|dy\right)dx \lt +\infty.\)

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt x \lt 1 , t \gt 0\}\). Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&u_t = u_{xx} - x(1-x),&\text{ за } (x,t) \in \overline{D},\\&u(x,0) = 2\sin^2{\pi x},&\text{ за } 0 \leq x \leq 1,\\&u_x(0,t) = 0, u_x(1,t) = 0,&\text{ за } t \geq 0.\end{aligned}\]

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине \[u_{yy} -4u_{xy} = xy\] при чему \((x,y) \in \mathbb{R}^2.\) Решити и одговарајући Кошијев проблем, ако је \(u(x,0) = 0\) и \(u_y(x,0)= -\frac{x^2}{48}.\)