Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(H, \mathbb{R}) \cap C^1(\overline{H}; \mathbb{R})\)): \[\begin{aligned}&\Delta u = 0,&\text{за } (x,y) \in H,\\&u_y(x,y) = 0, &\text{за } (x,y) \in \partial H,\\&u_y \text{ је ограничена на } H.\end{aligned}\]

Нека је \(\Omega \subset \mathbb{C}\) просто повезана област и нека су \(f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}\) комплексно-вредносна хармонијска функција. Доказати да постоје холоморфне функције \(g, h: \Omega \rightarrow \mathbb{C}\) такве да је \(f(z) = g(z) + \overline{h(z)}\) за свако \(z \in \mathbb{C}.\) Да ли су функције \(g\) и \(h\) јединствене?

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2: 0 \lt x \lt 1, t \gt 0 \} \) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned} &u_{tt} = u_{xx} + x(1-x), &\text{за } (x,t) \in \overline{D},\\ &u(x,0) = 2\sin{(\pi x)} \cos{(\pi x)},\quad u_t(x,0)=0, &\text{за } 0 \leq x \leq 1,\\&u(0,t) = 0,\quad u(1,t) = 0, &\text{за } t \geq 0.\end{aligned}\]

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине \[u_{xx} + u_{xy} - 6 u_{yy} = 0,\] при чему \((x,y) \in \mathbb{R}^2.\) Решити и одговарајући Koшијев проблем, ако је \(u(x,0) = 3x^2\) и \(u_y(x,0) = 0\) за свако \(x \in \mathbb{R}.\)