Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \lt 1, y\gt 0\}\). Решити проблем (одредити решење које припада \(C(\overline{D}; \mathbb{R}) \cap C^2(D; \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&\Delta u = -xy,&(x,y) \in D,\\&u(x,\sqrt{1-x^2}) = \sqrt{1-x^2}, &x \in [-1,1],\\&u(x,0) = 0, &x \in [-1,1].\end{aligned}\]

Нека је \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) област и нека су \(u, v: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) хармонијске функције такве да:

1. постоји функција \(a:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) таква да за свако \((x,y) \in \Omega\) важи \(\text{grad } u(x,y) = a(x,y) \cdot \text{grad } v(x,y)\)
2. за свако \((x,y) \in \Omega\) важи \(\text{grad } v(x,y) \neq (0,0) \newline \)

Доказати да постоје \(b,c \in \mathbb{R}\) тако да за свако \((x,y) \in \Omega\) важи \(u(x,y) = bv(x,y) + c.\)

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : 0\lt x\lt \pi, t\lt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned} &u_t = u_{xx} + x - \pi + 1 + t\cos{\frac{3x}{2}}, &\text{за } (x,t) \in \overline{D},\\ &u(x,)0 = \cos{\frac{x}{2}}, &\text{за } 0 \leq x \leq \pi,\\ &u_x(0,t) = t, \quad u(\pi, t) = t, &\text{за } t \geq 0. \end{aligned}\]

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине \[3u_{xx}-5u_{xy}-2u_{yy}+3u_x+u_y=2,\] при чему \((x,y) \in \mathbb{R}^2.\)