МАТФ РОКОВИ
28.08.2020.

Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

1

Нека су \(D\), \(E\) и \(F\)тачке симетричне центру описаног круга оштроуглог троугла \(ABC\) у односу на странице \(BC,\) \(AC\) и \(AB,\) редом. Доказати да се дужи \(AD,\) \(BE\) и \(CF\) међусобно полове.

2

Конструисати троугао \(ABC\) ако су дати \(a,\) \(b+c\) и \(\alpha\) редом подударни страници \(BC,\) збиру страница \(AC\) и \(AB\) и унутрашњем углу код темена \(A\) у троуглу \(ABC.\)

3

Нека су \(p\) и \(k_a\) споља приписани круг уз ивицу \(BC\) троугла \(ABC,\) а \(l_1\) круг са центром у \(A\) и полупречником \(p.\) Ако су \(K\) и \(L\) пресечне тачке праве \(BC\) и круга \(l_1\), показати да круг \(l,\) описан око троугла \(AKL\) додирује иснутра споља приписани круг \(k_a\).

4

У еуклидском простору дата је коцка \(ABCDA'B'C'D'\). Нека је \(\alpha\) раван \(A'BC',\) \(\beta\) раван која садржи праву \(A'B\) и нормална је на раван \(\alpha\) и нека је \(\gamma\) симетрална раван дужи \(A'C'.\) Наћи тип и компоненте изометрије \(S_\gamma \circ S_\beta.\)

5

Нека је \(ABCD\) четвороугао хиперболичке равни такав да је полуправа \(AB\) паралелна са полуправом \(DC,\) полуправа \(AD\) паралелна са полуправом \(BC\) и \(AB \cong AD.\) Доказати да је \(AC \perp BD.\)