Писмени испит из предмета Топологија А За смер М.

Нека су \(A\) и \(B\) подскупови тополошког простора \(X.\)

1. Доказати да је \(\mathrm{int}(A\setminus B)\subseteq \mathrm{int} A\setminus\mathrm{int} B.\)
2. Примером показати да у делу под (1) не мора да важи једнакост.

Нека је \(U\subseteq \mathbb R ^2\) отворен и повезан. Доказати да је \(U\) путно повезан.

Нека је \(\mathbb R^{\mathbb N}\) простор свих реалних низова и \(A\) његов потпростор који се састоји од свих реалних низова који су нула почевши од неког члана. Одредити \(\overline{A}\) у box топологији као и у топологији Тихонова.

Нека је \(X\) регуларан простор и \(K\subseteq X\) компактан. Доказати да је тада \(\overline{K}\) компактан. Примером показати да тврђење не важи уколико избацимо претпоставку да је \(X\) регуларан.