Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.
Септембар.
Обавезни део чине прва три задатка. Изборни део 1 чине задаци 4, 5 и 6, а Изборни део 2 чине задаци 7, 8 и 9.
1
На скупу \(\mathbb C\setminus \{i\}\) дефинисана је операција \(\star\) са \[z_1\star z_2=z_1z_2i+z_1+z_2,\quad z_1,z_2\in\mathbb C\setminus \{i\}.\] Доказати да је \((\mathbb C\setminus \{i\},\star)\) Абелова група и одредити све елементе реда \(2\) у тој групи.
2
Посматрајмо групе \(G_1\cong\mathbb D_8\times\mathbb Z_6\) и \(G_2\cong\mathbb S_4\times \mathbb Z_4.\)
- Испитати да ли су групе \(G_1\) и \(G_2\) изоморфне.
- Одредити број елемената максималног реда у \(G_1\) и пронаћи барем једну максималиу цикличну нормалну подгрупу групе \(G_2.\)
3
Посматрајмо Абелову групу \(G\cong\mathbb Z_{40}\times \mathbb Z_{100}\times \mathbb Z_{250}.\)
- Одредити нормалну и елементарну форму групе \(G.\)
- Испитати да ли постоји Абелова група \(H\) таква да је \(G\cong\mathbb Z_{20}\times\mathbb Z_{500}\times H.\)
4
Решити систем конгруенција \[\begin{aligned} x\equiv 4 \pmod 5 \\ x\equiv 1 \pmod 8 \\ x\equiv 5 \pmod 7\end{aligned}.\]
5
Дате су пермутације \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 6 & 8 & 2 & 7 \end{pmatrix}\) и \(\sigma = \lceil 3,5,2\rfloor \lceil 1,5,4,2,3 \rfloor \lceil 2,3,1,6,7 \rfloor\) из \(\mathbb S_8.\) Прво представити те пермутације као производ дисјунктних циклова, затим одредити њихове редове и израчунати \(\sigma^{-1},\pi^{-1}\sigma\pi\) и \(\sigma^{2017}.\)
6
Посматрајмо групе \((\mathbb R,+),(\mathbb R^*,\cdot)\) и пресликавање \(\varphi\colon \mathbb R\times \mathbb Z_{20}\rightarrow \mathbb D_{20}\times\mathbb R^{*}\) дефинисано са \[\varphi(x,j)=(\rho^j,e^{2x}),\quad x\in\mathbb R, j\in\mathbb Z_{20}.\] Испитати да ли је \(\varphi\) хомоморфизам група и у случају да јесте одредити његову слику.
7
Нека су \(G\) и \(G'\) групе и \(f\colon G\rightarrow G'\) хомоморфизам. Уочимо произвољну подгрупу \(H\) од \(G\) и означимо \(N=\ker f.\) Доказати да је \[f^{-1}(f(H))=HN.\]
8
Доказати да свака коначна Абелова група са барем три елемента има нетривијалан аутоморфизам.
9
Нека су \(f,g\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) реалне функције дефинисане са \(f(x)=\frac 1 x\) и \(g(x)=\frac{x-1}{x}.\) Одредити природан број \(n\) такав да је група у односу на операцију композиције пресликавања генерисана са \(f(x)\) и \(g(x)\), изоморфна симетричној групи \(\mathbb S_n.\)