МАТФ РОКОВИ
21.01.2020.

Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

Дат је произвољан троугао \(ABC.\) На страницама \(AC\) и \(BC\) су одабране тачке \(M\) и \(N\) редом, такве да важи \(AM=BN.\) Кружнице описане око троуглова \(ANC\) и \(BMC\) секу се још у тачки \(P\) (поред тачке \(C\)). Доказати да је права \(CP\) симетрала унутрашњег угла код темена \(C\) датог троугла \(ABC.\)

2

Конструисатн троугао \(ABC\) ако су дате тачке \(A,P\) и \(P_a\) где су \(P\) и \(P_a\) редом додирне тачке уписаног и споља уписаног круга који одговара темену \(A\) са правом \(BC.\)

3

Кругови \(k_1\) и \(K_2\) секу се у тачкама \(A\) и \(B.\) Круг \(k\) додирује дате кругове споља редом у тачкама \(C_1\) и \(C_2\) а једна њихова заједничка тангента \(t\) додирује их редом у тачкама \(D_1\) и \(D_2.\) Доказати да се кружнице описане око троуглова \(AC_1C_2\) и \(AD_1D_2\) додирују.

4

Нека је \(ABCDA'B'C'D'\) коцка. Одредити тип и компоненте изометрије еуклидског простора \(\mathcal S_{AD}\circ \mathcal S_{B'C'}\circ \mathcal S_{AB}\circ \mathcal S_{CD}.\)

5

У хиперболичкој равни дат је троугао \(ABC\) са правим углом у темену \(C\) (\(\angle ACB = R\)) за који важи \(\Pi(AB)=\angle ABC.\) Доказати да је \(\Pi(AC)=R-\angle BAC.\)