Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека су \(AA',BB'\) и \(CC'\) висине троугла \(ABC\), а \(H\) његов ортоцентар. Ако су \(M\) и \(N\) средишта висина \(AA'\) и \(CC'\) доказати да тачке \(M,N,B'\) и \(H\) припадају једном кругу.

Конструисати троугао \(ABC\) такав да је висина из темена \(A\) подударна датој дужи \(h_a\) полупречник описаног круга подударан датој дужи \(r\) и разлика углова \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) подударна датом углу \(\beta-\gamma.\)

Нека је \(ABCD\) једнакокраки трапез с дужом основицом \(AB,\) краћом основицом \(CD\) и крацима \(AD\) и \(BC.\) Одредити тип и компоненте изометрије \(\mathcal I = \mathcal S_{DA}\circ \mathcal S_{CD}\circ \mathcal S_{BC}\circ \mathcal S_{AB}.\)

Нека је \(ABCD\) тетраедар такав да се нодножје висине из темена \(A\) у троуглу \(ABC\) и подножје висине из темена \(D\) у троуглу \(BCD\) поклапају и да се подножје висине из темена \(B\) у троуглу \(ABC\) и подножје висине из темена \(D\) у троуглу \(ACD\) поклапају. Доказати да се и подножје висине из темена \(C\) у троуглу \(ABC\) и подножје висине из темена \(D\) у троуглу \(ABD\) поклапају.

Нека је у Поенкареовом диск моделу дат параболички прамен правих и нека је \(A\) произвољна тачка. Доказати да је крива, која садржи тачку \(A\) и нормална је на свакој правој тог прамена (орицикл који садржи тачку \(A\)), еуклидски круг који додирује апсолуту, из којег је избачена додирна тачка.