Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика Б За смерове Л, М, Н.

За густину расподеле обележја \(X\) важи да је \[f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}x^{-\frac{1+\theta}{\theta}},\, x\gt 1,\, \theta \gt0.\] Ако за параметар \(\alpha\) важи да је \(\alpha=E(\log\sqrt X),\) на основу узорка обима \(n,\) одредити оцену максималне веродостојности параметра \(\alpha\) и испитати њену ефикасност и постојаност.

Истраживач је на основу узорка обима \(8\) тестирао хипотезу \(H_0\)(обележје \(X\) има биномну \(\mathcal B(2, p)\) расподелу), где је \(p\) познато, против \(H_1\)(обележје \(X\) има Пуасонову \(\mathcal P(1)\) расподелу) користећи критичну област \(W\), за коју важи да је \[W=\left\{\sum_{k=1}^{8} x_i \le c\right\}.\] При томе је добио да је вероватноћа грешке прве врсте \(0.05\), а вероватноћа грешке друге врсте \(0.00823.\) Одредити вредност параметра \(p\) који је користио при израчунавању.

За густину општег члана низа случајних величина \((X_n)\) важи да је \[f_{X_n}(x)=\frac{7^n}{(7^{2n}-1)x^2},\, x\in\left[7^{-n}, 7^{n}\right].\] Ако је \[Y_n = 7^{-(1+\frac{1}{n})} I\{X_n<1\}+X_n I\{X_n \ge 1\},\] испитати средње квадратну конвергенцију низа случајних величина \((Y_n).\)