16.06.2022.
Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине Б За смерове М, Н.
Време израде: 135 минута.
1
18 поена
- Доказати да \(f_\varepsilon \in \mathcal D'(\mathbb R).\)
- Наћи \(f = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^+} f_\varepsilon\) у \(\mathcal D'(\mathbb R).\)
- Да ли се неки од закључака из \(1\) или \(2\) мења ако се вредност \(f_\epsilon(0)\) промени из \(\frac 1 {\varepsilon \pi}\) у \(0?\)
- Испитати да ли \(f'_\varepsilon \in \mathcal D'(\mathbb R)\) и да ли је \(\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^+} f'_\varepsilon = f'\) у \(\mathcal D'(\mathbb R).\)
2
15 поена
Нека је \(\chi_B\) карактеристична функција јединичне лопте \(B = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1\} \subseteq \mathbb R^2\) и \(\overrightarrow{n_x}\) јединични вектор дуж \(x\) правца. Доказати да је
\[\langle \frac{\partial \chi_B}{\partial x}, \varphi \rangle = - \int_{\partial B} \varphi(x,y) \langle (x,y), \overrightarrow{n_x}\rangle\,ds, \quad \forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb R^2).\]Напомена: Ознака \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) унутар интеграла је стандардни скаларни производ вектора у \(\mathbb R^2.\)
3
17 поена
Ако \(f,g \in H^1(0,1)\) доказати да је тада:
- \(\lvert f \rvert \in H^1(0,1).\)
- \(\max\{f,g\} \in H^1(0,1).\)
- \(fg \in W^{1,1}(0,1).\)