Писмени испит из предмета
Вероватноћа и статистика А
За смерове Л, М, Н, Р.
Време израде: 120 минута.
Кроз случајно изабрану тачку \((X,Y)\) унутар јединичног квадрата са теменима \((0,0),(1,0), (1,1)\) и \((0,1)\) повучене су праве паралелне координатним осама које деле дати квадрат на четири правоугаоника. Наћи расподелу површине највећег правоугаоника.
За густину расподеле \(f_{X,Y}(x,y)\) случајног вектора \((X,Y)\) важи да је \[f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac 2 {23} xy, \quad &(x,y) \in D,\\ 0, & \text{ иначе},\end{cases}\]где је \(D\) унутрашња област троугла са теменима \((1,1),(4,1)\) и \((2,3).\) Ако је \(Z = X+Y,\) одредити коваријансу случајних величина \(X\) и \(Z.\)
Спроводи се такмичење у "погађању невидљиве мете". На екрану ширине \(15 cm\) и дужине \(20 cm,\) генерише се, на случајан начин, мета у облику квадрата странице \(2 cm,\) видљива само за судије у такмичењу. Игра се спроводи тако што играчи, један за другим, цртају тачке на екрану све док неко од играча не нацрта тачку у оквиру мете. Три играча учествују у игри редоследом који је утврђен жребом пре почетка игре. Играчи стоје у реду и након неуспешног покушаја играч иде на зачеље реда, генерише се нова мета и наредни играч долази на ред. Ако је \(A\) догађај да је у игри победио играч који није започео игру, а \(B\) догађај да је изведен паран број пагађања, испитати независност тих догађаја.