Колоквијум из предмета Анализа 3А За смер М.

Нека је \((Y, \nu, \eta)\) простор са мером и \[\eta_*(A):= \sup \{\eta(E) \mid E \subseteq A, E \in \eta\}\] индукована унутрашња мера на \(\mathcal P(Y).\) Доказати да за свако \(A \subseteq Y\) постоји \(E \in \eta\) такво да \(\nu(E) = \nu_*(A).\)

Нека је \(\mu\) Борелова мера на \(\mathbb R\)

1. Доказати да за све \(f \in \mathcal L^1(\mathbb R, \mu)\) је добро дефинисана трансформација \[(Af)(x) := \int_{\mathbb R} f(t)\arctg(xt^2)\,d\mu(t)\]
2. Ако додатно важи \(g(x):=x^2f(x), g \in \mathcal L^1(\mathbb R, \mu),\) доказати да је \(Af\) диференцијабилна на \(\mathbb R\) и за све \(x \in X\) израчунати \((Af)'(x).\)

Дат је низ функција \(f_n:(0,1) \rightarrow \mathbb R\) дат са \(f_n(x) = \frac{\sqrt{n} \cos x}{1 + n \ln(1+x^2)}\)

1. Наћи \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{(0,1)}f_n \, dm\)
2. Да ли низ \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) има интеграбилну доминанту?

Израчунати \[\int\limits_0^{+\infty} \frac{\cos\left(\frac x 2\right) - \cos \left(\frac x 3 \right)} x e^{-x}\,dx\]