Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1. [12] Испитати ток и скицирати график функције \(f(x) = \frac{3x- 5}{\sqrt{x^2-2}}.\)
2. [3] Наћи (ако постоје) \(\sup\limits_{x \in (\frac 9 4, 3)} f(x),\) \(\inf\limits_{x \in (\frac 9 4, 3)} f(x),\) \(\max\limits_{x \in (\frac 9 4, 3)} f(x), \) \(\min\limits_{x \in (\frac 9 4, 3)} f(x).\)

Испитати конвергенцију следећих редова:

1. [10] \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2 \sqrt{n(n+1)} - 2n-1}{(n+\frac 1 n)^\alpha \cos{\frac 1 n}},\) у зависности од реалног параметра \(\alpha.\)
2. [5] \(\sum\limits_{n=1}^\infty (e - (1 + \frac 1 n)^n)\sin n.\)

Нека је дат низ \(\{I_n\}_{n \geq 0}\) са \[I_n = \int\limits_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}} \, dx.\]

1. [2] Доказати да је \(I_0 = \frac \pi 2\) и \(I_1 = 1.\)
2. [4] Доказати да је \(I_n = \frac{n-1}n I_{n-2}\) за све \(n \geq 2.\)
3. [2] Доказати да је \(I_{2n} \cdot I_{2n+1} = \frac 1 {2n+1} \frac \pi 2\) за све \(n \geq 0.\)
4. [4] Доказати да је низ \(\{I_n\}_{n \geq 0}\) конвергентан и наћи му граничну вредност.
5. [3] Доказати да је \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt n \cdot I_{2n} = \frac {\sqrt \pi} 2.\)
6. [2] Доказати неједнакост \[\int\limits_0^1 (1-x^2)^n\, dx \leq \int\limits_0^1 e^{-nx^2}\, dx \leq \int\limits_0^1 \frac{dx} {(1+x^2)^n}.\]
7. [3] Доказати да је \(I_n = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n x\, dx,\) а затим помоћу тврђења под 6. (или на неки други начин доказати неједнакост) \[\sqrt n \cdot I_{2n+1} \leq \int\limits_0^{\sqrt n} e^{-t^2}\, dt \leq \sqrt n \cdot I_{2n-2}.\]На крају, израчунати вредност интеграла \(\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx.\)

Нека је \(f\colon [1,2] \rightarrow \mathbb R\) диференцијабилна функција таква да је \(f(1) = 0.\)

1. [7] Доказати да једначина \(2f(x) = f'(x)\sin {2x}\) има бар једно решење на \([1,2].\)
2. [3] Наћи пример функције \(f\) која задовољава услове задатка и за коју претходна једначина има тачно једно решење.

Нека је \(f\colon [a,b] \rightarrow \mathbb R\) непрекидна функција таква да је \(\int_a^b f(x)\, dx = 0.\) Доказати да постоји \(c \in (a,b)\) тако да важи \[cf(c) \cdot \int\limits_a^c f(t)\,dt = cf(c) + \int\limits_a^c f(t)\, dt.\]