Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Дата је функција \(f(x) = \ln \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}.\)

1. Испитати ток и скицирати график функције \(f.\)
2. Испитати конвергенцију интеграла \(\int_0^1 f(x)dx\) и \(\int_1^{+\infty} f(x)dx.\)
3. Одредити једначину тангенте \(t\) на график у тачки \((1,f(1)).\)
4. Израчунати површину дела равни који одређују праве \(t, \, x=0\) и график функције \(f.\)

У зависности од реалних параметара \(\alpha\) и \(\beta\) испитати конвергенцију следећег интеграла \[\int_0^1 \frac{\lvert \log(x)\rvert^\alpha}{(\sin \pi x)^\beta} dx.\]

Нека је \(I_n = \int_0^{\frac \pi 2} \frac{\sin^2{nx}}{\sin^2 x} dx\) и \(J = \int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx, \, n \in \mathbb N \cup \{0\}.\)

1. Доказати да је \(I_n - I_{n-1} = J_{n-1}, \, n \geq 1.\)
2. Доказати да је \(J_n = c,\) за неко \(c \in \mathbb R.\)
3. Наћи \(I_n.\)
4. У зависности од реалног параметра \(\alpha \gt 0,\) испитати конвергенцију реда \[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin\left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)}{I_n^\alpha}.\]

1. Доказати да за свако \(n \in \mathbb N, \, n \geq 1\) и \(\alpha \gt 0\) важи \[\frac 1 n^{1+\alpha} \lt \frac 1 \alpha \left(\frac 1 {(n-1)^\alpha} - \frac 1 n^\alpha \right).\]
2. Доказати да за свако \(p \gt 1\) важи: \[\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p} \leq \frac p {p-1}.\]