Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) функција класе \(C^1\) таква да \(\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} f(x) = A\) и \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f'(x) = B,\) за \(A,B \in \mathbb R.\) Доказати да \(B = 0.\)

1. Формулисати дефиниције горњег и доњег лимеса функције и низа, као и дефиницију тачке нагомилавања низа.
2. Нека је \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) низ такав да је \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a_{n+1}-a_n) = 0.\)
   1. Доказати да за свако \(x \in \mathbb R\) које није тачка нагомилавања низа \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) важи\[(\exists \varepsilon \gt 0)(\exists N \in \mathbb N)(\forall n \in \mathbb N)(n \geq N \Rightarrow a_n \geq x + \varepsilon) \veebar (n \geq N \Rightarrow a_n \leq x - \varepsilon)\]
   2. Нека је \(l = \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} a_n\) и \(L = \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} a_n.\) Доказати да је сваки број из интервала \((l,L)\) тачка нагомилавања низа \((a_n)_{n \in \mathbb N}.\)
   3. Одредити скуп тачака нагомилавања низа \[ \left( \sin \left( \frac \pi 2 \sqrt n \right) \right)_{n \in \mathbb N}\]

1. Формулисати и доказати Њутн-Лајбницову формулу о вези одређеног интеграла и примитивне функције.
2. Нека је \(f\colon[-1,1] \rightarrow \mathbb R\) функција класе \(C^1\) таква да је \(f'(0) \neq 0.\)
   1. Доказати да за свако \(x \in (0,1]\) постоји број \(\alpha (x) \in (0,x)\) такав да важи једнакост \[\int\limits_0^x f(t)dt = f(\alpha(x))x.\]
   2. Доказати да \[\lim_{x \rightarrow 0+} \alpha(x)=0.\] Ако је \(g\colon (0,1] \rightarrow \mathbb R\) функција таква да \(\lim\limits_{t \rightarrow 0+} g(t) = 0,\) доказати да \[\lim\limits_{x \rightarrow 0+} g(\alpha(x)) = 0.\]
   3. Доказати да \[\int\limits_0^x f(t)dt = f(0)x + \frac {f'(0)}2 x^2 + o(x^2), \, x \rightarrow 0+.\]
   4. Доказати да \[f(\alpha (x)) = f(0) + f'(0) \alpha(x) + o(\alpha(x)), \, x \rightarrow 0+.\]
   5. Доказати да \[\lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\alpha(x)} x = \frac 1 2.\]

Нека су \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) и \((b_n)_{n \in \mathbb N}\) низови такви да редови \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) и \(\sum_{n=1}^\infty \lvert b_n - b_{n+1} \rvert\) конвергирају.

1. Доказати да низ \((b_n)_{n \in \mathbb N}\) конвергира.
2. Доказати једнакост \[\sum_{i=1}^n a_i b_i = \sum_{i=1}^{n-1}A_i(b_i-b_{i+1}) + A_n b_n,\]где је \(A_n = \sum_{i=1}^n a_i.\)
3. Доказати да ред \(\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\) конвергира.