03.07.2020.
Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
1
Нека је \(f\colon (-1,2) \rightarrow \mathbb R\) два пута диференцијабилна функција и нека је \(f''(0) \neq 0.\) Доказати да је скуп \(\{n \in \mathbb N \mid f(1/n) \neq 0\}\) неограничен.
2
- Формулисати дефиниције тачке нагомилавања низа и тачке нагомилавања скупа у \(\mathbb R.\)
- Нека је \((x_n)_{n \in \mathbb N}\) ограничен низ и \(A = \{x_n \mid n \in \mathbb N\}.\) Означимо са \(T\) скуп тачака нагомилавања низа \((x_n)_{n \in \mathbb N},\) а са \(A'\) скуп тачака нагомилавања скупа \(A.\)
- Доказати да \(A' \subseteq T.\)
- Претпоставимо да је за свако \(a \in A\) скуп \(\{n \in \mathbb N \mid x_n = a\}\) коначан. Доказати да је тада \(A'=T.\)
- Нека је \(b\colon \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb R\) функција дата са \(b(m,n) = \frac 1 {m+n}\) и нека је \(k\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N\) произвољна фиксирана бијекција. Нека је \((x_n)_{n \in \mathbb N}\) низ одређен са \(x_n = b(k(n)).\) Одредити скуп тачака нагомилавања низа \((x_n)_{n \in \mathbb N}.\)
3
Израчунати интеграл \[\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2(1-x)}}dx.\]
4
- Доказати да сваки апсолутно конвергентан ред конвергира. Да ли важи обрнуто?
- Испитати апсолутну и условну конвергенцију реда \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \left( 1 - \cos \frac{1}{\sqrt{\ln n}} \right)}{n^a}\] у зависности од параметра \(a \in \mathbb R.\)