МАТФ РОКОВИ
03.07.2020.

Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

Нека је \(f\colon (-1,2) \rightarrow \mathbb R\) два пута диференцијабилна функција и нека је \(f''(0) \neq 0.\) Доказати да је скуп \(\{n \in \mathbb N \mid f(1/n) \neq 0\}\) неограничен.

2

  1. Формулисати дефиниције тачке нагомилавања низа и тачке нагомилавања скупа у \(\mathbb R.\)
  2. Нека је \((x_n)_{n \in \mathbb N}\) ограничен низ и \(A = \{x_n \mid n \in \mathbb N\}.\) Означимо са \(T\) скуп тачака нагомилавања низа \((x_n)_{n \in \mathbb N},\) а са \(A'\) скуп тачака нагомилавања скупа \(A.\)
    1. Доказати да \(A' \subseteq T.\)
    2. Претпоставимо да је за свако \(a \in A\) скуп \(\{n \in \mathbb N \mid x_n = a\}\) коначан. Доказати да је тада \(A'=T.\)
  3. Нека је \(b\colon \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb R\) функција дата са \(b(m,n) = \frac 1 {m+n}\) и нека је \(k\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N\) произвољна фиксирана бијекција. Нека је \((x_n)_{n \in \mathbb N}\) низ одређен са \(x_n = b(k(n)).\) Одредити скуп тачака нагомилавања низа \((x_n)_{n \in \mathbb N}.\)

3

Израчунати интеграл \[\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2(1-x)}}dx.\]

4

  1. Доказати да сваки апсолутно конвергентан ред конвергира. Да ли важи обрнуто?
  2. Испитати апсолутну и условну конвергенцију реда \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \left( 1 - \cos \frac{1}{\sqrt{\ln n}} \right)}{n^a}\] у зависности од параметра \(a \in \mathbb R.\)