МАТФ РОКОВИ
Сви рокови •  Анализа 1:
03.07.2020.

Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

Нека је f ⁣:(−1,2)→Rf\colon (-1,2) \rightarrow \mathbb R два пута диференцијабилна функција и нека је f′′(0)≠0.f''(0) \neq 0. Доказати да је скуп {n∈N∣f(1/n)≠0}\{n \in \mathbb N \mid f(1/n) \neq 0\} неограничен.

2

  1. Формулисати дефиниције тачке нагомилавања низа и тачке нагомилавања скупа у R.\mathbb R.
  2. Нека је (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb N} ограничен низ и A={xn∣n∈N}.A = \{x_n \mid n \in \mathbb N\}. Означимо са TT скуп тачака нагомилавања низа (xn)n∈N,(x_n)_{n \in \mathbb N}, а са A′A' скуп тачака нагомилавања скупа A.A.
    1. Доказати да A′⊆T.A' \subseteq T.
    2. Претпоставимо да је за свако a∈Aa \in A скуп {n∈N∣xn=a}\{n \in \mathbb N \mid x_n = a\} коначан. Доказати да је тада A′=T.A'=T.
  3. Нека је b ⁣:N×N→Rb\colon \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb R функција дата са b(m,n)=1m+nb(m,n) = \frac 1 {m+n} и нека је k ⁣:N→N×Nk\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N произвољна фиксирана бијекција. Нека је (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb N} низ одређен са xn=b(k(n)).x_n = b(k(n)). Одредити скуп тачака нагомилавања низа (xn)n∈N.(x_n)_{n \in \mathbb N}.

3

Израчунати интеграл ∫011x2(1−x)3dx.\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2(1-x)}}dx.

4

  1. Доказати да сваки апсолутно конвергентан ред конвергира. Да ли важи обрнуто?
  2. Испитати апсолутну и условну конвергенцију реда ∑n=1∞(−1)nsin⁡(1−cos⁡1ln⁡n)na\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \left( 1 - \cos \frac{1}{\sqrt{\ln n}} \right)}{n^a} у зависности од параметра a∈R.a \in \mathbb R.