Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1. У зависности од реалних параметара \(a\) и \(c\) испитати непрекидност функције: \[f(x) = \begin{cases} ax + \sqrt[3]{2x -1}, \quad &x \in [-\frac 5 2, - \frac 1 2],\\ c \arcsin{\frac 2 {2x+3}}, \quad &x \notin [-\frac 5 2, - \frac 1 2].\end{cases}\]
2. Испитати диференцијабилност функције \(f.\)
3. Испитати ток и скицирати график функције \(f.\)

Дата је непрекидно-диференцијабилна функција \(g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R,\) таква да је \(g(1) = 0.\) Доказати да постоје \(\xi \in \mathbb R\) тако да је \(g(100) = 18 g'(\xi)\sqrt \xi.\)

1. Израчунати интеграл \[I_n = \int\limits_{-n}^n \frac{y^n + y^3 \cos y}{(\lvert y \rvert + 1)^{n+2}} dy.\]
2. Одредити граничну вредност \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} n^\alpha I_n, \, \alpha \in \mathbb R.\)

1. Испитати конвергенцију интеграла \[\int\limits_0^{+\infty} x^\alpha e^{-x^n}dx\] у зависности од \(\alpha \in \mathbb R\) и \( n \in \mathbb N.\)
2. За које вредности \(x\) конвергира ред \[\sum\limits_{n=17}^\infty \frac{(x-1)^n}{n \int_0^n x^\alpha e^{-x^k} dx}.\]