МАТФ РОКОВИ
Сви рокови •  Анализа 1:
29.09.2020.

Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

први и четврти ток

1

  1. Дат је низ \(a_n = \frac 1 {4\sqrt n + 1}\) и пресликавање \(k: \mathbb N \rightarrow \mathbb N\) задато са \[k(n) = \begin{cases} n+1, \text{ за } 3 \nmid n,\\ n-2, \text{ за } 3 \mid n.\end{cases}\]Доказати да је \(k\) бијекција, наћи \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n\) и \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{k(n)}.\)
  2. Нека је \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) низ такав да је \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n = a \in \mathbb R\) и \(k: \mathbb N \rightarrow \mathbb N\) једна фиксирана бијекција. Доказати да низ \((a_{k(n)})_{n \in \mathbb N}\) конвергира и \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{k(n)} =a\)
  3. Нека је \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) низ и нека је \(A\) скуп његових тачака нагомилавања. Нека је \(k: \mathbb N \rightarrow \mathbb N\) једна фиксирана инјекција и \(B\) скуп тачака нагомилавања низа \((a_{k(n)})_{n \in \mathbb N}.\) Доказати да је \(B \subset A.\) Да ли мора да важи \(B = A?\)

2

  1. Формулисати и доказати Лагранжову теорему о средњој вредности.
    1. Нека је \(f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) непрекидно диференцијабилна функција и \(a \in \mathbb R\) такво да важи \(f'(a) \gt 0.\) Доказати да постоји \(\varepsilon \gt 0\) такво да је \(f\) строго растућа на \((a - \varepsilon, a + \varepsilon).\)
    2. Доказати да за \(a \in \mathbb R\) и \(\varepsilon \gt 0\) из дела 2.1) важи да је \(f((a-\varepsilon, a+\varepsilon))\) отворен интервал.

3

  1. Формулисати теорему о смени променљиве у одређеном интегралу за Риман интеграбилну функцију.
  2. Израчунати интеграл \[\int\limits_0^{\frac \pi 2} \frac{\sin {2x} \, dx}{\sin^4 x + \cos^4 x}.\]

4

  1. Испитати конвергенцију реда \[\sum_{n=2}^\infty \sqrt{\frac{n^2+2n+5}{2n^3+7}}.\]
  2. Испитати апсолутну и условну конвергенцију реда \[\sum_{n=2}^\infty \sqrt{\frac{n^2+2n+5}{2n^3+7}}\cdot \log \left( 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt n} \right).\]