Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Испитати ток и скицирати график функције \[f(x) = (x-1)\arctan \frac{x-1}x .\]

Ако за узастопне чланове реалног низа \(\{a_n\}_{n \in \mathbb N}\) важи неједнакост \[a_{n+1} \leq \log \frac{(n^2+1)e^{a_n}}{n^2}\] испитати конвергенцију низа.

1. Израчунати интеграл \[I_n = \int_0^{2\pi} \frac{dt}{\sqrt{t^2+6nt+1}-t}.\]
2. У зависности од реалног параметра \(\alpha\) испитати конвергенцију реда \[\sum_{n=9}^{+\infty}n^\alpha I_n.\]

Нека је дата непрекидно-диференцијабилна функција \(f\) за коју важи да \(\int_0^1f(t)dt = 0\) и \(\lvert f'(t)\rvert \leq 9t\) за свако \(t \in [0,1].\) Доказати да је тада \(f(1) \leq 3.\)