12.09.2020.
Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
први и четврти ток
1
За низ \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) кажемо да задовољава услов (У) ако постоји низ \((b_n)_{n \in \mathbb N}\) такав да важи \[(\forall \varepsilon \gt 0)(\exists n_0 \in \mathbb N)(\forall n,m \in \mathbb N)(n,m \geq n_0 \Rightarrow \lvert a_n - b_m \rvert \lt \varepsilon).\]
- Дати дефиницију Кошијевог низа. да ли сваки Кошијев низ у \(\mathbb R\) конвергира?
- Нека је \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) низ који задовољава услов (У) и \((b_n)_{n \in \mathbb N}\) низ који се у том случају јавља у формулацији услова (У). Доказати да уколико низ \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) конвергира, онда конергира и низ \((b_n)_{n \in \mathbb N}\) и то ка истој граничној вредности.
- Нека је \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) низ дат са \(a_n = n.\) Доказати да \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) не задовољава услов (У).
2
- Формулисати и доказати Борел-Лебегову лему.
- Нека је \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) диференцијабилна функција таква да за свако \(x \in \mathbb R\) постоји \(\varepsilon_x \gt x\) такво да је извод \(f'\) дате функције ограничен на интервалу \((x - \varepsilon_x, x+\varepsilon_x).\)
- Доказати да је извод \(f'\) ограничен на произвољном сегменту \([a,b] \subset \mathbb R.\)
- Доказати да је функција \(f\) равномерно непрекидна на сваком сегменту \([a,b] \subset \mathbb R.\) Да ли \(f\) мора бити равномерно непрекидна на читавом \(\mathbb R?\)
3
- Доказати да важи \(\ln(x + \frac 1 x) \gt 0,\) за свако \(x \gt 0\) и испитати конвергенцију интеграла \[\int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{\ln (x + \frac 1 x)}.\]
- Испитати конвергенцију интеграла\[\int\limits_0^{+\infty} \frac{\arctg \left( \frac 1 {e^x-1} \right)}{\ln (x + \frac 1 x)} dx.\]
4
- Формулисати Дирихлеов критеријум конвергенције редова.
-
- Доказати да ред \(\sum_{n=1}^{+\infty} \sin(n+e)\) има ограничене парцијалне суме.
- Испитати конвергенцију реда\[\sum_{n=1}^{+\infty} \left( 1 + \frac 1 n\right)^{n+2} \frac{(n+1)!}{(2n)!!} \sin(n+e).\]