Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Испитати ток и скицирати график функције \[h(t) = e^{\frac 1 {t-3}} \sqrt{t^2 - 4t + 3}.\]

Дата је функција \(f\) дефинисана и два пута диференцијабилна у некој околини тачке \(x \in \mathbb R.\) Доказати да је \[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = f''(x).\]

Дат је интеграл \[\int_0^1 \frac{\arcsin x - x^n}{x^3} dx, \quad n \in \mathbb N.\]

1. У зависности од параметра \(n\) испитати конвергенцију интеграла.
2. За \(n = 1\) израчунати интеграл.

У зависности од реалног параметра \(\alpha\) одредити за које вредности \(x \in \mathbb R\) конвергира степени ред \[\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{\log(1+\pi ^n)}{n^\alpha} \left(\frac{x+1} 2 \right).\]