Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Испитати ток и скицирати график функције \[f(x) = (x+3) \ln \frac{x+1}{x+2}.\]

1. Доказати да је за свако \(x \in (0,1)\, g(x) \gt x\) или је за свако \(x \in (0,1) \, g(x) \lt x.\)
2. Доказати да низ формиран са \(x_0 \in (0,1), x_{n+1} = g(x_n)\) конвергира.

Израчунати интеграл \[\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2 \sqrt{1+x^2}} dx.\]

Одредити област конвергенције реда \[\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {\sin n} {\ln n} \arctg n \, (x+2)^n.\]