Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека су дати скупови \[A = \left\{\sin \left(\frac{5n - 10}{4n+1} \pi\right) \mid n \in \mathbb N\right\} \quad \text{и} \quad B = \left\{\frac{n^3(m+1)^m}{8(m^3+2n^3)(-m)^m} \mid n,m \in \mathbb N\right\}.\]

1. [6] Наћи \(\sup A, \inf A, \min A\) и \(\max A\) (ако постоје).
2. [6] Наћи \(\sup B, \inf B, \min B\) и \(\max B\) (ако постоје).
3. [3] Наћи \(\sup (A \cup B), \inf(A \cup B), \min(A \cup B)\) и \(\max(A \cup B)\) (ако постоје).

Нека је \(0 \le \epsilon \le 1\) и \(a \in \mathbb R.\) Низ \(\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\) је дефинисан на следећи начин: \[x_1 = a, x_{n+1} = a+ \varepsilon \sin x_n, n \geq 1.\]

1. [8] Доказати да је низ \(\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\) конвергентан.
2. [4] Ако са \(\xi\) означимо граничну вредност \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n,\) доказати да је \(\xi\) јединствено решење једначине \(x - \varepsilon \sin x = a.\)

Нека су дате функције \(f, g: [-\frac \pi 2, + \infty) \rightarrow \mathbb R,\)\[\begin{aligned}&f(x) = \begin{cases} \arctg \sqrt[3]x, &x\geq 0\\ (\sqrt{4+x} - 2e^{\frac x 8})(\sin x)^{-2} + a, &x \in [-\frac \pi 2, 0)\end{cases},\\ &g(x) = \begin{cases} \ln(1+\lvert x - x^2\rvert), &x \geq 0\\ b, &x \in [-\frac \pi 2, 0)\end{cases}.\end{aligned}\]

1. [4] Наћи константе \(a\) и \(b\) такве да функције\(f\) и \(g\) буду непрекидне на \([-\frac \pi 2, +\infty).\)
2. [6] За такве вредности \(a\) и \(b\) испитати диференцијабилност функције \(f(x)g(x)\) на \([-\frac \pi 2, +\infty).\)
3. [5] За такве вредности \(a\) и \(b\) испитати равномерну непрекидност функције \(f(x)g(x)\) на \([-\frac \pi 2, +\infty).\)

Нека је \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb R\) непрекидно диференцијабилна функција таква да је \(f'(x) \ge 0\) за све \(x \in (a,b).\) Ако је \(a \leq c \le d \leq b\) и \(f(c)f(d) \ge 0\) показати да постоји \(\xi \in (c,d)\) такво да је \[\frac{df(c) - cf(d)}{f(d)-f(c)} = \frac {f(\xi)}{f'(\xi)} - \xi.\]