МАТФ РОКОВИ
31.05.2021.

Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

други и трећи ток

1

14 поена

Дате су функције \(F: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb R\) и \(g: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb R\) са \[F(x) = \int_{-\frac 1 2}^x \frac{t + \arctg t}{1+t} dt \quad \text{ и } \quad g(x) = \frac{x^2+x+2}{1+x^2} - \arctg x\]

  1. [4] Испитати монотоност функције \(F\) и наћи локалне екстремуме.
  2. [4] Доказати да функција \(F\) има тачно две нуле.
  3. [2] Наћи асимптоте функције \(g.\)
  4. [4] Доказати да функција \(F\) има бар једну превојну тачку.

2

12 поена

Израчунати интеграл \[\int\limits_{\frac \pi 7}^{\frac {6 \pi} 7} \frac{\sin^2 x + 3 \lvert \sin 2x\rvert}{\lvert \cos x\rvert + \lvert \sin x\rvert}dx.\]

3

12 поена
  1. [6] У зависности од реалног параметра \(p,\) испитати конвергенцију интеграла \[I(p) = \int_{2021}^{+\infty} \frac{\ln^p(x-2020)}{\sqrt{e^{x-2021}-1}} dx.\]
  2. [6] Израчунати \(I(0).\)

4

12 поена

У зависности од реалног параметра \(q,\) испитати условну и апсолутну конвергенцију реда\[\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt[3]{\sqrt{4 + \frac 1 n^4} + \ln \left(1 + \frac 1 {3n^q} \right) - 2}\cdot \cos{3n}\]