Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Посматрајмо скуп \(\mathbb R^2\) на коме дефинишемо операцију као \[(u,v) \oplus (x,y) = (u+x, v+y), \, \forall(u,v), (x,y) \in \mathbb R^2,\]и релацију као \[(u,v) \preccurlyeq(x,y) \Leftrightarrow ((v \le y) \lor (v = y \land u \leq x)), \, \forall(u,v), (x,y) \in \mathbb R^2.\]

1. Доказати да је структура \((\mathbb R^2, \oplus, \preccurlyeq)\) тотално уређена Абелова група.
2. Доказати да у \((\mathbb R^2, \oplus, \preccurlyeq)\) не важи Архимедова аксиома.
3. Дат је скуп \(T = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 = 1\}.\) Наћи \(\sup T,\) ако постоји.
4. Доказати да структура \((\mathbb R^2, \oplus, \preccurlyeq)\) није изоморфна структури \((\mathbb N, +, \leq)\) (са стандардним сабирањем и релацијом поретка).

Напомена: Кажемо да су структуре изоморфне ако између њих постоји пресликавање које је бијекција и морфизам структура.

1. Наћи \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{[n\sqrt2]}\) и \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)n^n}{(n+1)^{n+1}}.\) Уверити се да на овим примерима важи тврђење из дела под 3.
2. Нека је \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) низ за који важи \((\exists c \gt 0)(\forall m,n \in \mathbb N) \lvert a_m - a_n\rvert > c.\) Доказати да низ \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) није конвергентан (у \(\mathbb R\)).
3. Нека је \(\alpha \gt 0\) ирационалан и нека су \((p_n)_{n \in \mathbb N}, (q_n)_{n \in \mathbb N}\) низови природних бројева такви да важи \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{p_n}{q_n} = \alpha.\) Доказати да је \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}q_n = \infty.\)

Дата је сурјективна и непрекидна функција \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) за коју важи да је за свако \(y \in \mathbb R\) скуп \(f^{-1}(\{y\})\) највише двочлан.

1. Показати да за све \(a,b \in \mathbb R,\) такве да \(a \lt b,\) функција \(f|_{[a,b]}\) достиже минимум и максимум баш у тачкама \(a\) и \(b\).
2. Показати да је функција \(f\) строго монотона.

Нека је функција \(f\) дата са \(f(x) = \lvert x - 1\rvert + \text{sgn}(x^2-x-2).\)

1. Испитати диференцијабилност функције \(f.\)
2. Испитати равномерну непрекидност функције \(g,\) дате са \(g(x) = xf(x),\) на интервалима \([1,3], [0,1]\) и \((-\infty, -3).\)