Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Израчунати интеграл \[\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}\arccos x}{2-x^2} dx.\]

У зависности од \(\alpha \in \mathbb R\) испитати конвергенцију реда \(\sum\limits_{n=2}^\infty a_n,\) ако је:

1. [10] \(a_n = (n+1)^\alpha - (n + \frac 1 n)^\alpha\);
2. [15] \(a_n = (\log n)^\alpha \left((n+1)^{1 + \frac 1 n} - n^{1 + \frac 1 {n+1}} - 1\right).\)

Нека је дата једначина \(x2^x = n^2,\) \(n \in \mathbb N.\)

1. [7] Доказати да једначина има јединствено решење за фиксирано \(n \in \mathbb N.\) Означимо решење са \(a_n.\) Формирајмо низ \(\{a_n\}_{n \in \mathbb N}\) чији су чланови решења једначина за \(n \in \mathbb N\) (\(a_1\) је решење једначине \(x2^x = 1^2, a_2\) је решење једначине \(x2^x = 2^2, \ldots\)).
2. [7] Доказати да је низ \(\{a_n\}_{n \in \mathbb N}\) монотон.
3. [7] Испитати конвергенцију низа \(\{a_n\}_{n \in \mathbb N}.\)
4. [7] Израчунати граничну вредност \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac {a_n}{\ln n}.\)
5. [7] Израчунати граничну вредност \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \ln^2 n \left(a_n \ln(a_n +1) - a_n\ln a_n - 1 + \frac 1 {2a_n}\right).\)

Нека су \(f, g\colon [a,b] \rightarrow \mathbb R\) функције које су непрекидне на \([a,b]\) и диференцијабилне на \((a,b).\) Претпоставимо да су \(f'\) и \(g'\) непрекидне, позитивне и растуће функције \((a,b).\) Доказати да постоји \(c \in (a,b)\) тако да је \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\frac {g(b)-g(a)}{b-a} = f'(c)g'(c).\]