Време израде: 180 минута.
Нека је дат низ { b k } k = 1 + ∞ \{b_k\}_{k=1}^{+\infty} { b k } k = 1 + ∞ b k = ( 1 + 1 k ) k + 1 b_k = (1+\frac 1 k)^{k+1} b k = ( 1 + k 1 ) k + 1 n ∈ N n \in \mathbb N n ∈ N A n A_n A n A n = { ( 1 + 1 2 m ) m n + m ∣ m ∈ N , m ≥ n } ∪ { ( 1 + 1 m 2 + 2 m ) ( m + 1 ) 2 n 2 ( n + 1 ) 2 ∣ m ∈ N , m ≥ n } . A_n = \left\{ \left(1 + \tfrac 1 {2m}\right)^{\frac {m}{n+m}} \mid m \in \mathbb N, m \geq n\right\} \cup \left\{\left(1 + \tfrac 1 {m^2+2m}\right)^{\frac {(m+1)^2n^2}{(n+1)^2}} \mid m \in \mathbb N, m \geq n\right\}. A n = { ( 1 + 2 m 1 ) n + m m ∣ m ∈ N , m ≥ n } ∪ { ( 1 + m 2 + 2 m 1 ) ( n + 1 ) 2 ( m + 1 ) 2 n 2 ∣ m ∈ N , m ≥ n } .
[5] Доказати да је низ { b k } k = 1 + ∞ \{b_k\}_{k=1}^{+\infty} { b k } k = 1 + ∞
[13] Наћи a n = sup A n a_n = \sup A_n a n = sup A n
[7] Израчунати lim n → + ∞ a n . \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n. n → + ∞ lim a n .
[15] Испитати ток и скицирати график функције f ( x ) = x ln ∣ x ∣ − 1 ln ∣ x ∣ + 1 . f(x) = x\frac{\ln \lvert x \rvert - 1}{\ln \lvert x \rvert + 1}. f ( x ) = x l n ∣ x ∣ + 1 l n ∣ x ∣ − 1 .
[5] У зависности од реалног параметра α \alpha α f ( x ) = α . f(x) = \alpha. f ( x ) = α .
[5] Наћи директну слику f ( ( 0 , e − 2022 2021 ) ∪ ( 1 , e 1 ) ) . f \left(\left(0, e^{-\frac{2022}{2021}}\right) \cup (1,e^1)\right). f ( ( 0 , e − 2021 2022 ) ∪ ( 1 , e 1 ) ) .
Израчунати ∫ − 1 1 x 2 ( 4 − x 4 ) 3 4 d x . \int\limits_{-1}^1 \frac{x^2}{\sqrt[4]{(4-x^4)^3}} dx. − 1 ∫ 1 4 ( 4 − x 4 ) 3 x 2 d x .
Дата је функција f ( x ) = e x − e − x e x + e − x . f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}. f ( x ) = e x + e − x e x − e − x .
[8] Одредити домен и слику функције f . f. f . f f f g = f − 1 g = f^{-1} g = f − 1
[12] Развити функцију g ( x ) g(x) g ( x ) x = 0 x = 0 x = 0
[5] Израчунати суму ∑ n = 0 ∞ 1 1 6 n ( 2 n + 1 ) . \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{16^n(2n+1)}. ∑ n = 0 ∞ 1 6 n ( 2 n + 1 ) 1 .