Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је дат низ \(\{b_k\}_{k=1}^{+\infty}\) дефинисан са \(b_k = (1+\frac 1 k)^{k+1}\) и нека је за свако \(n \in \mathbb N\) дат скуп \(A_n\) \[A_n = \left\{ \left(1 + \tfrac 1 {2m}\right)^{\frac {m}{n+m}} \mid m \in \mathbb N, m \geq n\right\} \cup \left\{\left(1 + \tfrac 1 {m^2+2m}\right)^{\frac {(m+1)^2n^2}{(n+1)^2}} \mid m \in \mathbb N, m \geq n\right\}.\]

1. [5] Доказати да је низ \(\{b_k\}_{k=1}^{+\infty}\) опадајући.
2. [13] Наћи \(a_n = \sup A_n\)
3. [7] Израчунати \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n.\)

1. [15] Испитати ток и скицирати график функције \(f(x) = x\frac{\ln \lvert x \rvert - 1}{\ln \lvert x \rvert + 1}.\)
2. [5] У зависности од реалног параметра \(\alpha\) наћи број решења једначине \(f(x) = \alpha.\)
3. [5] Наћи директну слику \(f \left(\left(0, e^{-\frac{2022}{2021}}\right) \cup (1,e^1)\right).\)

Израчунати \[ \int\limits_{-1}^1 \frac{x^2}{\sqrt[4]{(4-x^4)^3}} dx.\]

Дата је функција \(f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.\)

1. [8] Одредити домен и слику функције \(f.\) Показати да функција \(f\) има инверзну функцију \(g = f^{-1}\) и потом је одредити.
2. [12] Развити функцију \(g(x)\) у степени ред у околини тачке \(x = 0\) и одредити скуп на којем важи тај развој.
3. [5] Израчунати суму \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{16^n(2n+1)}.\)