12.06.2021.
Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
други и трећи ток
1
15 поена
Нека је дата функција \(f: \mathbb R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R\) са \(f(x) = \sqrt[3]{x^5} \sin{\frac \pi x} + \lvert x^2+2x \rvert.\)
- [4] Одредити \(a \in \mathbb R\) тако да функција \(g\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \) дата са\[g(x) = \begin{cases} f(x), \quad &x \neq 0\\ a, &x=0,\end{cases}\] буде непрекидна.
- [11] Испитати диференцијабилност функције \(g.\)
2
27 поена
- [14] Доказати да је \[2\sin x - 3x + \tg x > 0\]за све \(x \in (0, \frac \pi 2)\)
- [4] Нека је дата функција \(f: (0, \frac \pi 2) \rightarrow \mathbb R\) са \[f(x)= \frac{x - \tg x}{\sin x - x}.\]Доказати да је \(f(x) \gt 2\) за све \(x \in (0, \frac \pi 2).\)
- [9] Наћи \(f((0, \frac \pi 2)).\)
3
33 поена
Нека је дат низ интеграла \[I_n = \int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\lvert x \rvert \sin{nx}}{(1+2^x)\sin x} dx, \, n \geq 1.\]
- [9] Доказати да је \(I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin {nx}}{\sin x} dx.\)
- [3] Наћи \(I_1\) и \(I_2.\)
- [9] Наћи везу између \(I_n\) и \(I_{n-2}.\)
- [6] Да ли низ \(\{I_n\}_{n \in \mathbb N}\) конвергира? Одредити број тачака нагомилавања низа \(\{I_n\}_{n \in \mathbb N}.\)
- [6] Доказати да постоји реалан број \(A\) такав да ред \[\sum_{n=1}^{+\infty} \lvert A - I_n \rvert \sin{\frac{(n+1)\pi}2}\] конвергира.
4
25 поена
Испитати апсолутну и условну конвергенцију реда \[\sum_{n=1}^\infty \sin{\frac {nx} 3} \left(\sqrt{\frac {(1+n)^3}n }+ an + b\right)\] у зависности од реалних параметара \(a\) и \(b.\)