МАТФ РОКОВИ
12.06.2021.

Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

четврти ток

1

  1. Дефинисати појам граничне вредности функције у тачки, појам непрекидне функције у тачки и појам извода функције у тачки.
  2. Нека је дата функција \(f: \mathbb R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R\) са \(f(x) = \sqrt[3]{x^5} \sin{\frac \pi x} + \lvert x^2+2x \rvert.\) Одредити \(a \in \mathbb R\) тако да функција \(g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \) дата са\[g(x) = \begin{cases} f(x), \quad &x \neq 0\\ a, &x=0,\end{cases}\] буде непрекидна.
  3. Испитати диференцијабилност функције \(g.\)

2

  1. Формулисати и доказати Теорему о међувредности.
  2. Доказати да је \[2\sin x - 3x + \tg x > 0\]за све \(x \in (0, \frac \pi 2)\)
  3. Нека је дата функција \(f: (0, \frac \pi 2) \rightarrow \mathbb R\) са \[f(x)= \frac{x - \tg x}{\sin x - x}.\]Доказати да је \(f(x) \gt 2\) за све \(x \in (0, \frac \pi 2).\)
  4. Наћи \(f((0, \frac \pi 2)).\)

3

Нека је дат низ интеграла \[I_n = \int_{-\pi}^\pi \frac{\lvert x \rvert \sin{nx}}{(1+2^x)\sin x} dx, \, n \geq 1.\]
  1. Доказати да је \(I_n = \int\limits_0^\pi \frac{x \sin {nx}}{\sin x} dx.\)
  2. Наћи \(I_1\) и \(I_2.\)
  3. Одредити број тачака нагомилавања низа \(\{I_n\}_{n \in \mathbb N}\) (упутсво: наћи везу између \(I_n\) и \(I_{n-2}\)).
  4. Доказати да постоји реалан број \(A\) такав да ред \[\sum_{n=1}^{+\infty} \lvert A - I_n \rvert \sin{\frac{(n+1)\pi}2}\] конвергира.

4

Испитати за које \(x \in \mathbb R\) следећи ред конвергира: \[\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \arcsin \frac {1}{\sqrt[4]{n}} \left(e^{\frac {1} {\sqrt n}} - 1 \right) (3x+1)^n.\]