12.06.2021.
Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
четврти ток
1
- Дефинисати појам граничне вредности функције у тачки, појам непрекидне функције у тачки и појам извода функције у тачки.
- Нека је дата функција \(f: \mathbb R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R\) са \(f(x) = \sqrt[3]{x^5} \sin{\frac \pi x} + \lvert x^2+2x \rvert.\) Одредити \(a \in \mathbb R\) тако да функција \(g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \) дата са\[g(x) = \begin{cases} f(x), \quad &x \neq 0\\ a, &x=0,\end{cases}\] буде непрекидна.
- Испитати диференцијабилност функције \(g.\)
2
- Формулисати и доказати Теорему о међувредности.
- Доказати да је \[2\sin x - 3x + \tg x > 0\]за све \(x \in (0, \frac \pi 2)\)
- Нека је дата функција \(f: (0, \frac \pi 2) \rightarrow \mathbb R\) са \[f(x)= \frac{x - \tg x}{\sin x - x}.\]Доказати да је \(f(x) \gt 2\) за све \(x \in (0, \frac \pi 2).\)
- Наћи \(f((0, \frac \pi 2)).\)
3
- Доказати да је \(I_n = \int\limits_0^\pi \frac{x \sin {nx}}{\sin x} dx.\)
- Наћи \(I_1\) и \(I_2.\)
- Одредити број тачака нагомилавања низа \(\{I_n\}_{n \in \mathbb N}\) (упутсво: наћи везу између \(I_n\) и \(I_{n-2}\)).
- Доказати да постоји реалан број \(A\) такав да ред \[\sum_{n=1}^{+\infty} \lvert A - I_n \rvert \sin{\frac{(n+1)\pi}2}\] конвергира.