Колоквијум из предмета
Линеарна алгебра
За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
четврти ток
На скупу полинома \(\mathbb R^3[x]\) су дефинисане операције \[(a+bx+cx^2)\oplus (d +ex+fx^2) = ad + bex + cfx^2\] и \[\alpha \odot(a+bx+cx^2) = \alpha a + bx + cx^2,\] за све \(\alpha, a, b, c, d, e, f \in \mathbb R.\) Да ли је \((\mathbb R^3[x], \oplus, \odot\) векторски простор над пољем \(\mathbb R?\)
Дати су потпростори \[U = \left\{ \begin{pmatrix}a & b & c\\ b & c & a \\ c & a &b\end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb R\right\} \text { и } V = \left\{\begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & 0\\ f & 0 & 0\end{pmatrix} \mid a,b,c,d,e,f \in \mathbb R\right\}\] векторског простора \(M_3(\mathbb R).\) Одредити бар једну базу и димензију потпростора \(U+V\) и \(U \cap V.\) Да ли је сума \(U + V\) директна?
Одредити ранг, дефект и бар једну базу језгра и слике лиенарног пресликавања \(L: \mathbb R^4 \rightarrow M_{23}(\mathbb R)\) дефинисаног са \[L(x,y,z,t) = \begin{pmatrix}y+2t & 0 & x-y\\ -x+y+t & 2t& x-4t\end{pmatrix}.\]
Дато је линеарно пресликавање \(L: \mathbb R^4[x] \rightarrow M_2(\mathbb R), \, L(p) = \begin{pmatrix}p(0) & p(1)\\ 1'(0) & p'(1)\end{pmatrix}.\)- Показати да је пресликавање \(L\) инвертибилно.
- Одредити матрице оператора \(L\) и \(L^{-1}\) у односу на пар канонских база простора \(\mathbb R^4[x]\) и \(M_2(\mathbb R).\)
- Колики је ранг матрица из дела 2)?
Матрица линеарног оператора \(L: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) у односу на базу \(e_1 = (1,1,-1),\, e_2 = (1,-1,1),\, e_3 = (-1,1,1)\) је \(\begin{pmatrix} 15 & -11 & 5\\20 & -15 & 8\\ 8 & -7 & 6\end{pmatrix}.\) Одредити матрицу овог оператора уодносу на базу \(f_1= (4,0,2),\, f_2 = (6,0,2),\,f_3 = (1,1,3).\)
Нека су \(V_1, V_2\) и \(V_3\) потпростори векторског простора \(V,\) при чему је \(V_1 \leq V_3.\) Показати да важи \[V_1 + (V_2 \cap V_3) = (V_1 + V_2) \cap V_3.\]