МАТФ РОКОВИ
Сви рокови •  Линеарна алгебра:
08.06.2018.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

први ток

1

Нека су p=1+2x+3x2+4x3, q=2+3x+5x2+4x3, r=1+x+x2+x3p = 1+2x+3x^2+4x^3, \, q = 2+3x+5x^2+4x^3, \, r = 1+x+x^2+x^3 и s=2+2x+3x2+x3.s = 2+2x+3x^2+x^3.
  1. Ако је U=Ω(p,q)U = \Omega(p,q) и W=Ω(r,s),W = \Omega(r,s), одредити по једну базу и димензију за U+WU + W и U∩W.U \cap W.
  2. Показати да за тачно једно α∈R\alpha \in \mathbb R полином 4−α+2x+(2+α)x24 - \alpha + 2x + (2+\alpha)x^2 припада U∩WU \cap W и за такво α\alpha представити га као линеарну комбинацију вектора који генеришу W.W.

2

Нека је A=(1−22−21−2−22−3)∈M3(R).A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\-2 & 1 & -2\\ -2 & 2 & -3\end{pmatrix} \in M_3(\mathbb R).
  1. Показати да је (1,0,−1)T(1,0,-1)^T сопствена колона матрице A.A.
  2. Израчунати сопствене вредности матрице A.A.
  3. Да ли је матрица AA дијагоналног типа?
  4. Израчунати A2018.A^{2018}.

3

  1. Ако су PP и QQ матрице из M2(R),M_2(\mathbb R), доказати да је са L(X)=PX+XQL(X) = PX + XQ дефинасн један оператор простора M2(R).M_2(\mathbb R).
  2. Ако су P=(31−10)P = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 &0\end{pmatrix} и Q=(1−14−3),Q = \begin{pmatrix} 1 & -1\\4 & -3\end{pmatrix}, одредити матрицу оператора у односу на канонску базу простора M2(R),M_2(\mathbb R), бар једну базу језгра и слике, као и ранг и дефект.

4

У векторском простору R3[X]\mathbb R^3[X] дато је пресликавање ∘:R3[X]×R3[X]→R\circ: \mathbb R^3[X] \times \mathbb R^3[X] \rightarrow \mathbb R на следећи начин: p∘q=p(0)q(0)+p′(0)q′(0)+32p′′(0)q′′(0).p \circ q = p(0)q(0) + p'(0)q'(0) + \frac 3 2 p''(0)q''(0).
  1. Доказати да је ∘\circ један скаларни производ на простору R3[X].\mathbb R^3[X].
  2. Доказати да скуп свих полинома p∈R3[X]p \in \mathbb R^3[X] који задовољавају xp′(x)=2p(x+1)xp'(x) = 2p(x+1) чини потпростор простора R3[X]\mathbb R^3[X] и наћи растојање полинома x2x^2 од овог потпростора у односу на дати скаларни производ.

5

Нека је e=[e1,e2,e3]e = [e_1, e_2, e_3] ортонормирана база еуклидског векторског простора VV и нека је дата квадратна форма QQ на VV на следећи начин: Q(xe1+ye2+ze3)=5x2+10y2+10z2+12xy+12xz+18yz.Q(xe_1 + ye_2 + ze_3) = 5x^2 + 10y^2 + 10z^2 + 12xy + 12xz + 18yz.Одредити бар једну ортонормирану базу f=[f1,f2,f3]f = [f_1, f_2, f_3] простора VV у којој форма QQ има канонски облик и изразити QQ преко координата x′,y′,z′x', y', z' у новој бази f.f.