08.06.2018.
Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.
први ток
1
- Ако је \(U = \Omega(p,q)\) и \(W = \Omega(r,s),\) одредити по једну базу и димензију за \(U + W\) и \(U \cap W.\)
- Показати да за тачно једно \(\alpha \in \mathbb R\) полином \(4 - \alpha + 2x + (2+\alpha)x^2\) припада \(U \cap W\) и за такво \(\alpha\) представити га као линеарну комбинацију вектора који генеришу \(W.\)
2
- Показати да је \((1,0,-1)^T\) сопствена колона матрице \(A.\)
- Израчунати сопствене вредности матрице \(A.\)
- Да ли је матрица \(A\) дијагоналног типа?
- Израчунати \(A^{2018}.\)
3
- Ако су \(P\) и \(Q\) матрице из \(M_2(\mathbb R),\) доказати да је са \(L(X) = PX + XQ\) дефинасн један оператор простора \(M_2(\mathbb R).\)
- Ако су \(P = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 &0\end{pmatrix}\) и \(Q = \begin{pmatrix} 1 & -1\\4 & -3\end{pmatrix},\) одредити матрицу оператора у односу на канонску базу простора \(M_2(\mathbb R),\) бар једну базу језгра и слике, као и ранг и дефект.
4
- Доказати да је \(\circ\) један скаларни производ на простору \(\mathbb R^3[X].\)
- Доказати да скуп свих полинома \(p \in \mathbb R^3[X]\) који задовољавају \(xp'(x) = 2p(x+1)\) чини потпростор простора \(\mathbb R^3[X]\) и наћи растојање полинома \(x^2\) од овог потпростора у односу на дати скаларни производ.