Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(U = \{p \in \mathbb R^4[x] : p(-1) + p'(0) = p''(0), 2p(1) - 4p'(0) = p''(0)\}\) и \(W = \Omega(f_1, f_2, f_3),\) где је \[\begin{aligned} q_1 &= 1 +x^2\\ q_2 &=1+3x+x^3\\q_3 &= 3x-x^2+x^3.\end{aligned}\]

1. Одредити по једну базу и деминзије потпростора \(U, W, U+W\) и \(U \cap W.\)
2. Доказати да постоји тачно једно \(\lambda \in \mathbb R\) тако да је полином \[q = 3-x + \lambda x^2 + 5x^3 \in U + W,\] и за ту вредност \(\lambda\) написати \(q\) као збир једног полинома из \(U\) и једног полинома из \(W.\)

Нека је \(U = \left\{ X \in M_2(\mathbb R): X^T = X, \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot X \cdot \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} = 0\right\}\) и \(W = \left\{\begin{bmatrix} 0 & c\\d & c+d\end{bmatrix} : c,d \in \mathbb R\right\}.\)

1. Доказати да су \(U\) и \(W\) векторски потпростори простора \(M_2(\mathbb R).\)
2. Одредити бар по једну базу као и димензију потпростора \(U\) и \(W.\)
3. Доказати да је \(U \oplus W = M_2(\mathbb R).\)

Дата је матрица \(A\) над пољем \(\mathbb R\) \[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\0 & \alpha +1 & -2\\3 & 4 & \alpha +7\\1 & \alpha +2 & 1\end{bmatrix}.\]

1. У зависности од параметра \(\alpha \in \mathbb R\) одредити ранг матрице \(A.\)
2. Ако је \(\alpha = 0,\) одредити канонску матрицу \(A^0\) матрице \(A\) и инверзибилне матрице \(P\) и \(Q\) такве да је \(A^0 = PAQ.\)
3. Одердити инверз матрице \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1\\3 & 2 & 1\\ 2 & 1 &2\end{bmatrix}.\)