Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Решити систем над пољем \(\mathbb Z_7\) у зависности од параметра \(\alpha \in \mathbb Z_7:\)\[\begin{array}{rcrcrcl}x & + & 4y & + & z & = & 2\\3x & + & 3y & + & z & = & \alpha\\2x & + & (\alpha + 6)y & &&= &\alpha^2+2\alpha +5\end{array}\]

Да ли је подскуп \(U\) потпростор векторског простора \(V,\) где је:

1. \(V = M_2(\mathbb R), \, U=\{X \in V \mid AX = XA, \text{Tr } X = \text{Tr } A\},\) где је \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix},\)
2. \(V = \mathbb R^{12}[x], \, U = \{p \in V \mid \deg p = 10\} \cup \{\mathbf 0\},\) где је \(\mathbf 0\) нула-полином,
3. \(V = \mathbb R ^ \mathbb R, \, U = \{f \in V \mid f(0) \neq f(1)\}.\)

У случају да је \(U\) векторски потпростор одредити његову базу и димензију.

Дати су потпростори \[U = \{p \in \mathbb R^3[x] \mid p'(0) = 0\} \text{ и } V = \{p \in \mathbb R^4[x] \mid p(1) = p(-1)\}\]векторског простора \(\mathbb R^4[x].\) Одредити бар једну базу и димензију векторских простора \(U + V, U \cap V, \mathbb R^4[x]/U, \mathbb R^4[x]/V, U^\perp\) и \(V^\perp.\) Да ли је сума \(U + V\) директна?

Дато је пресликавање \(L\colon M_2(\mathbb R) \rightarrow M_2(\mathbb R), LX = X^TA - AX^T + (\text{Tr }X)A,\) где је \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 3\end{pmatrix}.\)

1. Показати да је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(M_2(\mathbb R).\)
2. Одредити бар једну базу језгра и слике, као и ранг и дефект овог оператора.
3. Одредити матрицу преласка са базе \(f = \left\{\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 & -2\\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0\\2 & 3\end{pmatrix}\right\}\) на канонску базу векторског простора \(M_2(\mathbb R).\)
4. Одредити матрицу оператора \(L\) у односу на базу \(f.\)

Наћи пар база векторских простора \(\mathbb R^4\) и \(\mathbb R^3[x]\) у односу на које линеарно пресликавање \(L\colon \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3[x],\) \[L(a,b,c,d) = (a+2b-d) + (2a+5b-c+3d)x + (a+4b-2c+9d)x^2\]има канонску матрицу.

Дато је линеарно пресликавање \(L\colon \mathbb R^3[x] \rightarrow M_2(\mathbb R), Lp = \begin{pmatrix}p(0) & p(1)\\p'(0) & p'(1)\end{pmatrix}.\) Одредити матрицу линеарног пресликавања \(L^T\) у односу на пар база \(\pi = \{\pi_{11}, \pi_{12}, \pi_{21}, \text{Tr}\}\) и \(\phi = \{\phi_1, \phi_2, \phi_3\},\) где су \(\pi_{ij}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} = a_{ij},\) \(\phi_1 p = p(0),\) \(\phi_2 p = p'(0)\) и \(\phi_2p = p''(2).\)